MATHEMATIQUE / A la pousuite des champs

Pursuing Stacks (en français À la poursuite des champs, en allemand Verfolgung von Stacks) est un travail influent d'Alexander Grothendieck datant de 1983, portant sur le traitement de la théorie de l'homotopie à l'aide des méthodes de la théorie des catégories supérieures. Par "stacks", il entend ici des ∞-groupoïdes, et non les stacks de la géométrie algébrique. D'autres développements de ce travail ont été réalisés par Georges Maltsiniotis et Denis-Charles Cisinski. Stack veut aussi dire pile ou empilement.

Le manuscrit commence par une lettre de douze pages adressée à Daniel Quillen, dans laquelle Grothendieck discute de l'unification de certains domaines, tels que la structure de modèle Kan-Quillen ou les adjointes de Quillen. La lettre, datée du 19 février 1983, est restée sans réponse de la part de Daniel Quillen. Elle est suivie d'environ 600 pages de notes rédigées par Alexander Grothendieck lui-même, qui insista pour que, dans le cas d'une publication, tout soit reproduit de manière originale, afin qu'il soit clairement indiqué que des erreurs pouvaient aussi arriver à des personnes célèbres.

Le titre du livre de mathématicien et philosophe Alexandre Grothendieck, À la poursuite des champs, repose sur l’intuition que les champs (ou stacks en anglais) sont le concept unificateur pour une synthèse entre l’algèbre homotopique et l’algèbre cohomologique non commutative. Une remarques est à faire c'est qu'en français Field theory se dit théorie des corps.

• les champs (stacks),
• l’algèbre homotopique
• l’algèbre cohomologique non commutative.
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1. Les champs (stacks)

Les champs sont une généralisation des faisceaux en géométrie algébrique. Tandis qu’un faisceau associe des ensembles ou des groupes à chaque ouvert d’un espace topologique, un champ peut associer des catégories (ou même des ∞-catégories). Ils apparaissent naturellement dans des contextes où on veut « classifier des objets avec des symétries », comme la théorie des modules, les espaces de modules (moduli spaces), la géométrie algébrique dérivée.

✨ L'intution que cela provoque est qu'un stack est un outil qui garde en mémoire non seulement les objets, mais aussi leurs isomorphismes.

2. L’algèbre homotopique

L’algèbre homotopique est une branche des mathématiques qui utilise des outils de la topologie algébrique (comme les complexes simpliciaux, les classes d’homotopie, etc.) pour traiter des structures algébriques. On y utilise souvent des catégories modèles (model categories), qui permettent de faire de "l’algèbre" en tenant compte de l’homotopie. Elle est essentielle pour formaliser la géométrie algébrique dérivée. 💡 En somme, l'algèbre homotopique elle rend possible de traiter des objets « jusqu’à homotopie » dans un cadre rigoureux.

3. L’algèbre cohomologique non commutative.

C’est une généralisation de la cohomologie classique à des contextes où les objets ne sont pas commutatifs, comme les algèbres associatives non commutatives, les algèbres de Lie, ou même les catégories triangulées. Elle intervient souvent dans des contextes liés à la physique théorique (théorie quantique des champs, quantification, etc.). L’idée est d’étendre les outils de la cohomologie (groupe de cohomologie, classes caractéristiques, etc.) à des situations « non classiques ».

4. Synthèse via les stacks.

L’intuition d'À la poursuite des champs est que les stacks offrent un cadre naturel pour relier ces deux mondes. D'une part, l'algèbre homotopique où les stacks permettent de définir des objets « jusqu’à équivalence homotopique », donc bien adaptés à une approche dérivée. D'autre part, la cohomologie non commutative où les stacks permettent d’intégrer des symétries, des objets « à valeurs dans des catégories », ce qui est central dans les contextes non commutatifs. Ainsi les stacks agissent comme un pont conceptuel entre des notions topologiques (homotopie) et algébriques (cohomologie non commutative), permettant de créer un langage unifié pour traiter des objets complexes et riches en symétrie.

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