MATHEMATIQUES / MORPHISMES

Les propriétés des morphismes (finitude, platitude, lissité, etc.) sont les sujets des 30 notions suivantes.

31. Morphisme de schémas

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est un morphisme d'espaces localement annelés, c'est-à-dire une paire $(f^{\ast },f^{\#})$ où $f^{\ast }:X\to Y$ est une application continue (pour la topologie de Zariski) et $f^{\#}:{\mathcal{O}}^Y\to f^{\ast }{\mathcal{O}}^X$ est un morphisme de faisceaux d'anneaux satisfaisant la condition de localité : pour tout $x\in X$ , le diagramme induit des anneaux locaux ${\mathcal{O}}^{Y,f(x)}\to {\mathcal{O}}^{X,x}$ envoie l'idéal maximal de ${\mathcal{O}}^{Y,f(x)}$ dans celui de ${\mathcal{O}}^{X,x}$ . Formellement, $f$ est une paire $(f^{\ast },f^{\#})$ telle que : (1) $f^{\ast }:|X|\to |Y|$ est continue ; (2) $f^{\#}:{\mathcal{O}}^Y\to f^{\ast }{\mathcal{O}}^X$ est un morphisme de faisceaux ; (3) pour tout $x\in X$ , le morphisme induit $f^x:{\mathcal{O}}^{Y,f(x)}\to {\mathcal{O}}^{X,x}$ envoie ${\mathfrak{m}}^{Y,f(x)}$ dans ${\mathfrak{m}}^{X,x}$ .

La fonctorialité est naturelle : la composition de morphismes de schémas est un morphisme de schémas, et l'identité est un morphisme. Pour des schémas affines $X=\text{Spec}(A)$ et $Y=\text{Spec}(B)$ , un morphisme $f:X\to Y$ est exactement la donnée d'un morphisme d'anneaux $\varphi :B\to A$ (contravariante), défini par $f^{\ast }(\mathfrak{p})={\varphi }^{-1}(\mathfrak{p})$ et $f^{\#}:B\to A$ égal à $\varphi$ .

Les propriétés des morphismes (finitude, platitude, lissité, etc.) sont les sujets des 30 notions suivantes.

Les autres dénominations sont : morphisme d'espaces localement annelés, morphisme de schémas relatif.

La question compacte : comment formaliser les applications continues entre schémas respectant la structure algébrique locale ?

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford, Jean-Pierre Serre.

32. Morphisme fini

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est fini si $f$ est affine (la préimage de tout ouvert affine est affine) et de type fini. De manière équivalente, $f$ est fini si pour tout $y\in Y$ , il existe un voisinage affine $V=\text{Spec}(B)$ de $y$ tel que $f^{-1}(V)=\text{Spec}(A)$ avec $A$ une $B$ -algèbre de type fini qui est finie comme $B$ -module (c'est-à-dire que $A\cong B^n$ en tant que $B$ -module après localisation, ou de manière plus formelle : il existe $a^1,\dots ,a^m\in A$ tels que tout élément de $A$ s'écrit comme ${\sum }^{i=1}{b}^i{a}^i$ avec $b^i\in B$ ).

Les propriétés fondamentales : les morphismes finis sont fermés (images fermées), quasi-compacts, quasi-séparés, et préservent la noethérianité (l'image d'une chaîne strictement décroissante de fermés est une chaîne strictement décroissante).

Les exemples : la normalisation d'une variété, les projecteurs projectifs (schémas projectifs sur un schéma noethérien), les revêtements finis étales. Le critère valuatif pour la finitude : $f$ est fini si et seulement si $f$ est propre et quasi-fini. La classe des morphismes finis est stable par composition, changement de base, et formation de fibre produit.

Les autres dénominations sont : finite morphism, morphisme entier, morphisme fini de type fini.

La question compacte : quels morphismes ont la propriété que chaque fibre est fini sur le corps résiduel, et que tout dépend d'une algèbre de type fini ?

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Emmy Noether, Wolfgang Krull, Jean Dieudonné.

33. Morphisme quasi-fini

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est quasi-fini si pour tout $y\in Y$ , la fibre $X^y=X{\times }^Y\text{Spec}(\kappa (y))$ est un schéma fini sur $\kappa (y)$ (c'est-à-dire fini et noethérien, donc de type fini avec un nombre fini de points). De manière plus directe, $f$ est quasi-fini si : (1) $f$ est de type fini ; (2) pour tout point $x\in X$ , le localisé ${\mathcal{O}}^{X,x}$ est un module fini sur $f^{\ast }({\mathcal{O}}^{Y,f(x)})$ .

Les exemples : les immersions ouvertes sont quasi-finies, les morphismes finis sont quasi-finis, les morphismes génériquement finis (finis sur un ouvert dense) sont quasi-finis. Un morphisme quasi-fini n'est pas nécessairement fini : par exemple, une immersion ouverte $j:U\hookrightarrow X$ est quasi-finie (chaque fibre est finie) mais n'est affine que si son complémentaire est défini par un seul élément. Le critère valuatif pour la quasi-finitude est plus faible que celui de la finitude : $f$ est quasi-fini si et seulement si $f$ est de type fini et pour tout anneau de valuation discrète $V$ avec corps des fractions $K$ , l'ensemble des relèvements d'un morphisme $\text{Spec}(K)\to X$ à $\text{Spec}(V)\to X$ est au plus fini. Un morphisme propre quasi-fini est fini.

Les autres dénominations sont : quasi-finite morphism, morphisme génériquement fini.

La question compacte : quels morphismes de type fini ont des fibres finies ?

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Masayoshi Nagata.

34. Morphisme propre

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est propre s'il satisfait trois conditions : (1) séparé : la diagonale ${\Delta }^{X/Y}:X\to X{\times }^{Y}X$ est une immersion fermée ; (2) de type fini ; (3) universellement fermé : pour tout morphisme $Y^{\prime }\to Y$ , le morphisme induit $X{\times }^Y{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$ est fermé (l'image de tout fermé est fermée). Intuitivement, la propreté est l'analogue schématique de la compacité en topologie usuelle : pour un morphisme $X\to \text{Spec}(\mathbb{C})$ avec $X$ un schéma de type fini sur $\mathbb{C}$ , $X$ est propre si et seulement si $X(\mathbb{C})$ (l'ensemble des points complexes) est compact pour la topologie analytique. Les propriétés fondamentales : (1) stabilité : les morphismes propres sont stables par composition, changement de base, et formation de produit fibré ; (2) finitude de cohomologie (théorème de Grothendieck) : si $f:X\to Y$ est propre avec $Y$ noethérien et $\mathcal{F}$ un faisceau cohérent sur $X$ , alors $R^i{f}^{\ast }\mathcal{F}$ est cohérent sur $Y$ pour tout $i$ ; (3) critère valuatif : $f$ est propre si et seulement si (a) $f$ est séparé de type fini, et (b) pour tout anneau de valuation $V$ avec corps des fractions $K$ , tout morphisme $\text{Spec}(K)\to X$ s'étend de manière unique en un morphisme $\text{Spec}(V)\to X$ .

Les exemples : les schémas projectifs sur une base quelconque sont propres ; les variétés abéliennes sont propres.

Les autres dénominations sont : proper morphism, morphisme universellement fermé et séparé de type fini, morphisme compact.

La question compacte : quel est l'analogue schématique des applications continues d'espaces compacts ?

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford, Pierre Deligne, EGA II.

35. Morphisme projectif

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est projectif s'il se factorise comme une composition $X\to {\mathbb{P}}^Y\to Y$ où la première application est une immersion fermée dans l'espace projectif relatif ${\mathbb{P}}^Y=\text{Proj}(Y[x^0,\dots ,x^n])$ et la seconde est la projection canonique.

De manière équivalente, $f$ est projectif s'il est propre et qu'il existe un faisceau inversible ample relatif sur $X$ : un ${\mathcal{O}}^X$ -module inversible $\mathcal{L}$ tel que pour tout $y\in Y$ , il existe un entier $n^0$ dépendant de $y$ tel que pour tout $n\ge n^0$ , les sections globales $H^0(X^y,{\mathcal{L}}^n{|}^{X^y})$ engendrent un plongement du $\kappa (y)$ -schéma $X^y$ dans ${\mathbb{P}}^N$ .

Les morphismes projectifs sont propres mais la réciproque est fausse : les variétés abéliennes sont propres mais non projectives (sauf les courbes elliptiques).

Les propriétés : stabilité par composition, changement de base, formation de produit ; finitude de cohomologie ; existence de faisceaux inversibles amples (Grothendieck). Pour les morphismes projectifs, on dispose du théorème de Serre : les groupes de cohomologie des faisceaux quasi-cohérents deviennent trivaux en grands degrés après torsion par une puissance du faisceau ample.

Les autres dénominations sont : morphisme dans un espace projectif, quasi-projectif morphism, projective morphism.

La question compacte : quels morphismes propres se plongent dans un espace projectif via des sections amplement tordues ?

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre, David Mumford, Pierre Deligne.

36. Morphisme affine

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est affine si pour tout ouvert affine $V=\text{Spec}(B)\subset Y$ , la préimage $f^{-1}(V)$ est un schéma affine, c'est-à-dire $f^{-1}(V)=\text{Spec}(A)$ pour un anneau $A$ (qui est nécessairement une $B$ -algèbre via $f^{\#}{|}^B$ ).

Les propriétés fondamentales : (1) les morphismes affines sont quasi-compacts et quasi-séparés ; (2) les morphismes affines sont stables par composition, changement de base, et formation de produit fibré ; (3) pour un morphisme affine $f:X\to Y$ , le faisceau structural $f^{\ast }{\mathcal{O}}^X$ est un faisceau quasi-cohérent de ${\mathcal{O}}^Y$ -algèbres, et $X={\text{Spec}}^Y(f^{\ast }{\mathcal{O}}^X)$ (spectre relatif) ; (4) les morphismes affines sont déterminés par le faisceau quasi-cohérent $f^{\ast }{\mathcal{O}}^X$ .

Les exemples : les immersions fermées sont affines, les morphismes finis sont affines (car de type fini + affines), les morphismes d'espaces vectoriels ${\mathbb{A}}^Y\to Y$ sont affines.

Le théorème fondamental : un morphisme $f:X\to Y$ est affine si et seulement si $X$ admet un recouvrement par ouverts affines $U^i=\text{Spec}(A^i)$ tels que $f(U^i)\subset V^i$ où $V^i=\text{Spec}(B^i)$ sont des ouverts affines de $Y$ et chaque $A^i$ est une $B^i$ -algèbre.

Les autres dénominations sont : affine morphism, morphisme vers un schéma affine.

La question compacte : quels morphismes préservent la propriété d'affineité ?

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford.

37. Morphisme plat

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est plat si pour tout $x\in X$ , l'anneau local ${\mathcal{O}}^{X,x}$ est plat comme module sur $f^{\ast }({\mathcal{O}}^{Y,f(x)})$ (en tant que module sur l'anneau local ${\mathcal{O}}^{Y,f(x)}$ ).

De manière équivalente, $f$ est plat si c'est un morphisme plat en tant que morphisme entre schémas affines (l'anneau $A$ est plat comme $B$ -module lorsque le produit tensoriel $-{\otimes }^{B}A$ est exact). Intuitivement, la platitude mesure l'absence de singularités génériques dans la famille : pour une famille $f:X\to Y$ , la platitude assure que les fibres varient continûment sans sauts de dimension ou multiplicité.

Les propriétés fondamentales : (1) stabilité : les morphismes plats sont stables par composition et changement de base ; (2) le critère de platitude locale : $f$ est plat si et seulement si pour tout ouvert affine $V=\text{Spec}(B)\subset Y$ , tout $x$ dans la préimage affine $f^{-1}(V)=\text{Spec}(A)$ a l'anneau local ${\mathcal{O}}^{X,x}=A^{{\mathfrak{p}}^x}$ plat sur $B$ (où ${\mathfrak{p}}^x$ est l'idéal premier correspondant à $x$ ) ; (3) le critère de Tor : un morphisme affine $\text{Spec}(A)\to \text{Spec}(B)$ est plat si et seulement si ${\text{Tor}}^i(A,N)=0$ pour tout $i>0$ et tout $B$ -module $N$ ; (4) les morphismes ouverts génériquement plats sont plats sur un ouvert.

Les exemples : les morphismes lisses sont plats, les morphismes de schémas intègres sont génériquement plats (plats en dehors d'une partie de codimension $\ge 2$ ).

Les autres dénominations sont : flat morphism, morphisme plat d'anneaux.

La question compacte : quelle condition technique assure que les fibres d'une famille varient continûment sans singularités ?

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford, Masayoshi Nagata, SGA 1, EGA IV.

38. Morphisme fidèlement plat

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est fidèlement plat s'il est plat et que toute suite exacte d'espaces vectoriels de dimensions finies $0\to M^{\prime }\to M\to M^{\prime \prime }\to 0$ sur $Y$ reste exacte après le produit tensoriel avec $f^{\ast }({\mathcal{O}}^X)$ sur chaque fibre. Formellement, pour un schéma affine $\text{Spec}(A)\to \text{Spec}(B)$ , le morphisme est fidèlement plat si l'anneau $A$ est plat sur $B$ et que pour tout module $M$ sur $B$ , l'application naturelle $M{\otimes }^{B}A\to M$ est injective (ce qui signifie que le multiplicateur Tor de $M$ trivialise via le produit tensoriel avec $A$ ). De manière encore plus concrète : $f:X\to Y$ est fidèlement plat si $f$ est plat et surjectif sur les points (l'image des points fermés est dense). Les propriétés fondamentales : (1) la fidèle platitude implique la survivalité de propriétés : si une propriété $P$ vaut sur $Y$ et que $f:X\to Y$ est fidèlement plat, alors $P$ vaut sur $Y$ si et seulement si elle vaut sur $X$ (descente fidèlement plate) ; (2) le foncteur de pullback $f^{\ast }:\text{Qcoh}(Y)\to \text{Qcoh}(X)$ est fidèle et exact lorsque $f$ est fidèlement plat ; (3) les morphismes fidèlement plats sont stables par composition et changement de base ; (4) les morphismes surjectifs de schémas affines noethériens qui sont domination sont fidèlement plats. Les exemples : les morphismes lisses surjectifs sont fidèlement plats (par exemple ${\mathbb{A}}^n\to \text{Spec}(k)$ en caractéristique 0), les morphismes localisations $A\to S^{-1}A$ pour $S$ multiplicatif non vide sont fidèlement plats. La fidèle platitude est cruciale pour la théorie de la descente fidèlement plate (FPD) et pour les théorèmes de changement de base (notamment en géométrie étale et cristalline). Les autres dénominations sont : faithfully flat morphism, morphisme plat et surjectif. La question compacte : quelle condition technique assure que la platitude implique une forme de surjectivité topologique permettant de descendre les propriétés ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford, Pierre Berthelot, SGA 1, EGA IV.

39. Morphisme lisse

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est lisse s'il satisfait : (1) $f$ est de présentation finie ; (2) pour tout point $x\in X$ , le morphisme $f$ est régulier en $x$ : l'anneau local ${\mathcal{O}}^{X,x}$ est régulier sur ${\mathcal{O}}^{Y,f(x)}$ , c'est-à-dire que le différentiel ${\Omega }^{X/Y,x}$ engendre un ${\mathcal{O}}^{X,x}$ -module projectif de rang égal à la dimension relative locale de $X$ sur $Y$ . De manière équivalente, $f$ est lisse en $x$ si le morphisme induit ${\mathfrak{m}}^Y/{\mathfrak{m}}^Y\otimes k(x)\to {\Omega }^{X/Y,x}\otimes k(x)$ est surjectif et ${\Omega }^{X/Y,x}$ est un ${\mathcal{O}}^{X,x}$ -module projectif. Un morphisme est lisse s'il est lisse en tout point. Les propriétés fondamentales : (1) stabilité : les morphismes lisses sont stables par composition, changement de base, et formation de produit fibré ; (2) les morphismes lisses sont plats, de présentation finie, et leurs fibres sont lisses ; (3) relèvement de sections infinitésimales (critère formel) : $f$ est lisse si et seulement si il satisfait la propriété de relèvement infinitésimal pour les morphismes affines ; (4) le lemme de Nakayama infinitésimal : pour un morphisme lisse, tout point infinitésimal près d'un point se relève ; (5) les morphismes lisses sont ouverts. Les exemples : les morphismes étales sont lisses (cas particulier : dimension relative 0), les projections ${\mathbb{A}}^Y\to Y$ sont lisses, les morphismes lisses surjectifs entre variétés connexes ont des fibres connexes de même dimension. Pour une base un corps $k$ parfait, $f$ est lisse si et seulement si $f$ est régulier. La notion de lissité est fondamentale pour la géométrie algébrique : elle joue le rôle de la régularité en géométrie différentielle, et elle permet de définir les fibrés tangent et cotangent, les formes différentielles, la cohomologie de Hodge, et les différentielles de Kähler. Les autres dénominations sont : smooth morphism, morphisme non singulier, morphisme régulier. La question compacte : quel est l'analogue relatif de la non-singularité entre schémas ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Pierre Deligne, Luc Illusie, Michel Raynaud.

40. Morphisme étale

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est étale s'il est lisse de dimension relative 0, c'est-à-dire : (1) $f$ est de présentation finie ; (2) $f$ est plat ; (3) pour tout point $x\in X$ , le module des différentielles relatives ${\Omega }^{X/Y,x}$ est trivial (zéro). De manière équivalente, $f$ est étale si c'est un morphisme non ramifié et plat de présentation finie, ou si le morphisme en cofibre ${\Omega }^Y\otimes {\mathcal{O}}^X\to {\Omega }^X$ est un isomorphisme. Intuitivement, la étaleité capture l'idée de "pas de ramification" : un morphisme étale est localement un isomorphisme "à changement de base fini près". Les propriétés fondamentales : (1) stabilité : les morphismes étales sont stables par composition, changement de base, et formation de produit fibré ; (2) les immersions ouvertes sont étales ; (3) les morphismes finis étales sont exactement les revêtements non ramifiés finis ; (4) pour un morphisme étale $f:X\to Y$ , le pullback $f^{\ast }$ est un foncteur exact sur les faisceaux quasi-cohérents ; (5) le critère formel d'étaleité (lemme de Hensel) : $f$ est étale si et seulement si il satisfait la propriété de relèvement des éléments ; (6) les étales morphismes sont ouverts. Les exemples : les localisation $\text{Spec}(A^f)\to \text{Spec}(A)$ sont étales, les revêtements étales finis comme les $n$ -ièmes racines, les morphismes entre courbes génériquement finis non ramifiés sont étales génériquement. La topologie étale, définie par les morphismes étales surjectifs, est fondamentale pour la cohomologie étale et la géométrie arithmétique. Les autres dénominations sont : étale morphism, unramified flat morphism, morphisme de déploiement. La question compacte : quel est l'analogue schématique de la non-ramification locale en géométrie algébrique ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Michel Raynaud, Pierre Deligne, Luc Illusie, SGA 1, SGA 4, EGA IV.

41. Morphisme non ramifié

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est non ramifié (ou unramified) s'il est de présentation finie et pour tout point $x\in X$ , le morphisme en cofibre ${\Omega }^{Y/k}\otimes {\mathcal{O}}^X\to {\Omega }^{X/k}$ des différentielles est un isomorphisme après réduction modulo l'idéal maximal : ${\mathfrak{m}}^Y\otimes k(x)\to {\mathfrak{m}}^X/{\mathfrak{m}}^X\otimes k(x)$ est un isomorphisme. De manière équivalente, $f$ est non ramifié en $x$ si l'extension de corps $k(x)/k(f(x))$ est séparable (ce qui signifie qu'il n'y a pas de multiplication de racines). Un morphisme est non ramifié s'il l'est en tout point. Les propriétés fondamentales : (1) les morphismes finis non ramifiés sont exactement les revêtements étales finis ; (2) les morphismes non ramifiés plats sont étales ; (3) la non-ramification est stable par composition et changement de base ; (4) pour un morphisme $f:X\to Y$ non ramifié, les anneaux locaux ${\mathcal{O}}^{X,x}/{\mathcal{O}}^{Y,f(x)}$ sont des extensions d'anneaux locaux non ramifiées (au sens de la théorie des valuations) ; (5) la différentielle $df:{\mathcal{O}}^Y\to {\Omega }^{X/Y}$ est un isomorphisme pour un morphisme non ramifié, ce qui signifie que la dimension relative est zéro. Les exemples : les revêtements étales finis sont non ramifiés, les immersions ouvertes sont non ramifiées, les morphismes entre schémas de caractéristique 0 sont génériquement non ramifiés (sauf au lieu de ramification fermé de codimension $\ge 1$ ). La notion de non-ramification est moins restrictive que celle d'étaleité : un morphisme non ramifié qui n'est pas plat s'appelle "formellement non ramifié". Les autres dénominations sont : unramified morphism, morphisme non ramifié de présentation finie, morphisme à différentiel triviale. La question compacte : quelle condition technique assure l'absence de ramification dans les extensions d'anneaux locaux ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Luc Illusie, Michel Raynaud.

42. Morphisme séparé

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est séparé s'il est séparé au sens relatif : la diagonale ${\Delta }^{X/Y}:X\to X{\times }^{Y}X$ est une immersion fermée. Cela signifie que le sous-schéma défini par l'image de ${\Delta }^{X/Y}$ est fermé pour la topologie de Zariski. De manière équivalente, deux sections $s^1,s^2:Y\to X$ du morphisme $f$ qui coïncident génériquement (sur un ouvert dense) sont égales, ou plus formellement : le fermé $\{x\in X:f(x)\in U\}$ est séparé pour tout ouvert affine $U$ contenant $f(x)$ . Les propriétés fondamentales : (1) tout morphisme affine $\text{Spec}(A)\to \text{Spec}(B)$ est séparé ; (2) les morphismes séparés sont stables par composition et changement de base ; (3) la séparation est locale : $f$ est séparé si et seulement si il existe un recouvrement $Y={\bigcup }^i{V}^i$ par ouverts affines tels que les préimages $f^{-1}(V^i)$ sont séparés ; (4) pour un morphisme séparé $f:X\to Y$ , le produit fibré $X{\times }^{Y}X$ est séparé sur $Y$ ; (5) une application continue d'espaces topologiques séparés est séparée au sens schématique. La séparation est moins restrictive que la propreté : un morphisme peut être séparé et de type fini sans être propre (les variétés affines sur un corps donnent des morphismes séparés mais non propres vers le spectre du corps). Les autres dénominations sont : separated morphism, morphisme séparé au sens relatif. La question compacte : quelle est la version relative de la condition de Hausdorff pour les schémas ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford.

43. Morphisme de type fini

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est de type fini si $f$ est quasi-compact et si pour tout ouvert affine $V=\text{Spec}(B)\subset Y$ , il existe un recouvrement fini de $f^{-1}(V)$ par ouverts affines $U^i=\text{Spec}(A^i)$ tels que chaque $A^i$ est une $B$ -algèbre de type fini (finiment engendrée).

Les propriétés fondamentales : (1) les morphismes de type fini sont quasi-compacts et quasi-séparés ; (2) la condition de type fini est stable par composition : si $f:X\to Y$ et $g:Y\to Z$ sont de type fini, alors $g\circ f$ est de type fini ; (3) les morphismes de type fini sont stables par changement de base et formation de produit fibré ; (4) les morphismes finis sont de type fini, mais la réciproque est fausse (une immersion ouverte non affine est de type fini mais non finie) ; (5) un morphisme localement noethérien de type fini est globalement noethérien sur la base ; (6) pour un morphisme de type fini $f:X\to Y$ avec $Y$ noethérien, le schéma $X$ est noethérien.

Les exemples : pour un corps $k$ , un $k$ -schéma de type fini est un schéma dont chaque ouvert affine est spectre d'une $k$ -algèbre de type fini, ce qui correspond aux variétés algébriques classiques (avec nilpotents et non nécessairement intègres ou réduits). Pour $S=\text{Spec}(\mathbb{Z})$ , les $\mathbb{Z}$ -schémas de type fini sont exactement les schémas arithmétiques de type fini. La notion de type fini est fondamentale car elle garantit que les schémas considérés ne sont pas "pathologiquement gros" et admettent les propriétés cohomologiques et de représentabilité attendues.

Les autres dénominations sont : morphisme de type fini, finite type morphism, morphisme quasi-compact de présentation relative finie.

La question compacte : quelle condition de finitude assure que les schémas dans une famille se comportent comme des variétés algébriques ?

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Masayoshi Nagata.

44. Morphisme de présentation finie

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est de présentation finie si $f$ est quasi-compact, quasi-séparé, et pour tout ouvert affine $V=\text{Spec}(B)\subset Y$ , chaque préimage $f^{-1}(U^i)$ pour les ouverts affines dans $f^{-1}(V)$ satisfait $f^{-1}(U^i)=\text{Spec}(A^i)$ avec $A^i$ une $B$ -algèbre de présentation finie (quotient d'une algèbre polynomiale libre par un nombre fini de relations). Formellement, $f$ est de présentation finie si $f$ est quasi-compact, quasi-séparé, et pour tout $y\in Y$ , il existe un voisinage affine $V=\text{Spec}(B)$ de $y$ et un recouvrement fini de $f^{-1}(V)$ par ouverts affines $\text{Spec}(A^i)$ où chaque $A^i=B[x^1,\dots ,x^n]/(f^1,\dots ,f^m)$ est une $B$ -algèbre de présentation finie. Les propriétés fondamentales : (1) la présentation finie implique le type fini (ajouter la condition quasi-séparé) ; (2) les morphismes de présentation finie sont stables par composition, changement de base, et formation de produit fibré ; (3) pour un morphisme de présentation finie $f:X\to Y$ , les faisceaux quasi-cohérents sur $X$ sont exactement les modules de présentation finie sur le faisceau $f^{\ast }{\mathcal{O}}^X$ ; (4) les représentations d'un foncteur par un schéma généralement reposent sur les morphismes de présentation finie (schémas de Hilbert, espaces de modules) ; (5) un morphisme affine est de présentation finie si et seulement si c'est une algèbre de présentation finie. Les exemples : les morphismes de type fini entre schémas noethériens sont génériquement de présentation finie ; les localisation $\text{Spec}(A^f)\to \text{Spec}(A)$ sont de présentation finie. La présentation finie est techniquement plus restrictive que le type fini, mais elle garantit des propriétés de représentabilité plus fortes (la représentabilité des foncteurs de Hilbert sur les schémas localement noethériens repose essentiellement sur la présentation finie). Les autres dénominations sont : finite presentation morphism, morphisme de présentation finie relative. La question compacte : quelle condition technique assure la représentabilité des foncteurs de modules par des schémas ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford, Michael Artin.

45. Morphisme quasi-compact

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est quasi-compact s'il satisfait : pour tout ouvert affine $V=\text{Spec}(B)\subset Y$ , la préimage $f^{-1}(V)$ est quasi-compacte (tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini). De manière équivalente, $f$ est quasi-compact si pour tout recouvrement ouvert $X={\bigcup }^i{U}^i$ , il existe un recouvrement affine fini $Y={\bigcup }^j{V}^j$ tel que chaque $f^{-1}(V^j)$ est quasi-compact. Les propriétés fondamentales : (1) les morphismes quasi-compacts sont stables par composition et changement de base (si $f:X\to Y$ et $g:Y\to Z$ sont quasi-compacts, alors $g\circ f$ est quasi-compact) ; (2) les morphismes quasi-compacts sont résiduellement noethériens : si $Y$ est noethérien et $f$ est quasi-compact, alors $X$ est noethérien ; (3) pour un morphisme quasi-compact $f:X\to Y$ , l'image directe $f^{\ast }$ envoie les faisceaux quasi-cohérents en faisceaux quasi-cohérents ; (4) les morphismes quasi-compacts sont cohérents pour les produits fibrés : le produit fibré $X{\times }^{Y}X$ est quasi-compact. La quasi-compacité est une hypothèse technique omniprésente dans la géométrie algébrique, assurant des propriétés de finitude. Les exemples : les morphismes affines sont quasi-compacts (la préimage d'un ouvert affine est un fermé algébrique du spectre d'une algèbre de présentation finie, donc quasi-compacte), les morphismes de type fini sont quasi-compacts par définition. Un morphisme qui n'est pas quasi-compact : une réunion infinie disjointe de points ${\coprod }^{\infty }\text{Spec}(k)\to \text{Spec}(k)$ . Les autres dénominations sont : quasi-compact morphism, morphisme compact localement. La question compacte : quelle condition technique assure la quasi-compacité des préimages d'ouverts affines ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné.

46. Morphisme quasi-séparé

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est quasi-séparé s'il satisfait : pour tout ouvert affine $V=\text{Spec}(B)\subset Y$ , la préimage $f^{-1}(V)$ est quasi-séparée (pour tout recouvrement fini d'ouverts affines $f^{-1}(V)={\bigcup }^i{U}^i$ , les intersections $U^i\cap U^j$ sont quasi-compactes). De manière équivalente, un morphisme $f:X\to Y$ est quasi-séparé si le morphisme diagonal ${\Delta }^{X/Y}:X\to X{\times }^{Y}X$ est quasi-compact. Les propriétés fondamentales : (1) les morphismes affines sont quasi-séparés (le produit fibré d'affines est affine) ; (2) les morphismes quasi-séparés sont stables par composition et changement de base ; (3) pour un morphisme quasi-séparé $f:X\to Y$ , la diagonale $X\to X{\times }^{Y}X$ est quasi-compacte, ce qui assure des propriétés de finitude sur les intersections ; (4) les morphismes quasi-séparés sont localement noethériens en un sens technique : si $Y$ est noethérien et $f$ est quasi-séparé de type fini, alors $X$ est noethérien. La quasi-séparation est moins restrictive que la séparation (qui demande que la diagonale soit une immersion fermée) : une quasi-séparation ne garantit pas la séparation topologique, mais seulement une forme de "compacité relative" des intersections. Les exemples : les morphismes séparés sont quasi-séparés, les morphismes de type fini sont quasi-séparés (car quasi-compacts et la diagonale est quasi-compacte). Les autres dénominations sont : quasi-separated morphism, quasi-séparé au sens relatif. La question compacte : quelle condition technique assure que les intersections de préimages d'ouverts affines restent quasi-compactes ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné.

47. Morphisme dominant

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est dominant si l'image $f(X)$ est dense dans $Y$ pour la topologie de Zariski, c'est-à-dire que tout fermé strict $Z⊊Y$ contient des points qui ne sont pas dans l'image. De manière équivalente, $f$ est dominant si pour tout ouvert non vide $V\subset Y$ , l'intersection $f(X)\cap V$ est non vide, ou si le morphisme en anneaux associé $\varphi :B\to A$ (pour des schémas affines $X=\text{Spec}(A)$ , $Y=\text{Spec}(B)$ ) envoie tout diviseur zéro de $B$ sur un diviseur zéro de $A$ (le noyau du morphisme induit $\text{Spec}(A)\to \text{Spec}(B)$ ne contient pas l'idéal nul). Les propriétés fondamentales : (1) les morphismes dominants sont génériquement surjectifs : il existe un point générique $\eta \in Y$ tel que $f^{-1}(\eta )$ est non vide ; (2) pour un morphisme dominant $f:X\to Y$ avec $Y$ irréductible, le schéma $X$ est irréductible ; (3) la dominance est stable par composition : si $f:X\to Y$ et $g:Y\to Z$ sont dominants, alors $g\circ f$ est dominant ; (4) pour un morphisme dominant $f:X\to Y$ , l'image du point générique ${\eta }^X$ (s'il existe) est le point générique ${\eta }^Y$ ; (5) les morphismes dominants de schémas intègres induisent des injections entre les corps des fractions. Les exemples : les inclusions ouvertes non vides sont dominantes, les morphismes finis surjectifs sont dominants, les morphismes lisses surjectifs entre variétés connexes sont dominants. Un morphisme peut être dominant sans être surjectif sur les points fermés : l'inclusion $\text{Spec}(\mathbb{Q})\hookrightarrow \text{Spec}(\mathbb{Z})$ est dominante car $\mathbb{Q}$ est le corps des fractions de $\mathbb{Z}$ . Les autres dénominations sont : dominant morphism, morphisme génériquement surjectif. La question compacte : quand l'image d'un morphisme est dense pour la topologie de Zariski ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, André Weil.

48. Morphisme birationnel

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est birationnel s'il existe deux ouverts denses $U\subset X$ et $V\subset Y$ tels que $f{|}^U:U\to V$ est un isomorphisme. De manière équivalente, $f$ est birationnel si $f$ est dominant et si les corps de fractions (ou anneaux génériques pour les schémas non intègres) sont isomorphes via le morphisme induit. Pour les schémas intègres, $f$ est birationnel si et seulement si le morphisme en anneaux $\varphi :K(Y)\to K(X)$ entre les corps des fractions est un isomorphisme. Les propriétés fondamentales : (1) les birationalités ne sont pas des isomorphismes globaux mais seulement génériques : par exemple, l'éclatement d'un point est un morphisme birationnel mais non un isomorphisme ; (2) la composition de morphismes biratio $X\stackrel{f}{}Y\stackrel{g}{}Z$ avec $f,g$ birational est un morphisme birationnel ; (3) deux schémas birlationnels ont les mêmes propriétés génériques : dimension, singularités génériques, propriétés du corps des fractions ; (4) un morphisme proper birationnel entre schémas noethériens intègres induit un morphisme fini entre les normalisations. Les exemples : les éclatement d'une sous-variété lisse, les résolutions de singularités, les contractions de courbes rationnelles, la normalisation d'une variété. La résolution des singularités (Hironaka, 1964) est le théorème fondamental : tout morphisme dominant entre variétés sur un corps de caractéristique 0 admet une factorisation en morphismes birationnels où chaque étape est un éclatement d'un sous-schéma lisse. Les autres dénominations sont : birational morphism, birationnel map, morphisme génériquement un isomorphisme. La question compacte : quels morphismes induisent des isomorphismes entre les corps des fractions (ou génériquement entre les schémas) ? Les contributeurs : André Weil, Oscar Zariski, Heisuke Hironaka, Alexander Grothendieck.

49. Immersion ouverte

Une immersion ouverte est un morphisme de schémas $j:U\hookrightarrow X$ vérifiant : (1) $j$ induit un homéomorphisme de $|U|$ vers un ouvert $j(|U|)\subset |X|$ (l'image topologique est ouverte) ; (2) le morphisme $j^{\#}:{\mathcal{O}}^X\to j^{\ast }{\mathcal{O}}^U$ est un isomorphisme après restriction à $j(U)$ : pour tout $u\in U$ , le morphisme en anneaux locaux ${\mathcal{O}}^{X,j(u)}\to {\mathcal{O}}^{U,u}$ est un isomorphisme.

Les propriétés fondamentales : (1) les immersions ouvertes sont étales (donc lisses, plats, non ramifiées) ; (2) les immersions ouvertes sont ouvertes et quasi-compactes si $U$ est quasi-compact ; (3) les immersions ouvertes sont stables par composition : une composition de deux immersions ouvertes est une immersion ouverte ; (4) tout schéma admet un recouvrement par ouverts affines qui sont des immersions ouvertes ; (5) les immersions ouvertes satisfont une propriété universelle : une immersion ouverte $j:U\hookrightarrow X$ est l'inclusion canonique d'un ouvert dans $X$ , qui est fonctorielle ; (6) les immersions ouvertes sont quasi-séparées et quasi-compactes ; (7) pour une immersion ouverte $j:U\hookrightarrow X$ , le faisceau d'idéaux ${\mathcal{I}}^U=\ker (j^{\#})$ est l'idéal zéro (nulle part défini).

Les exemples : les ouverts affines $D(f)=\text{Spec}(A^f)\hookrightarrow \text{Spec}(A)$ , les ouverts de lissité d'un morphisme lisse, les ouverts de régularité d'une variété singulière. Les immersions ouvertes sont les morphismes les plus simples et les plus « transparents » en géométrie algébrique : elles préservent toute la structure du schéma ambiant sur l'ouvert. Les autres dénominations sont : open immersion, inclusion ouverte, morphisme ouvert étale. La question compacte : comment inclure canoniquement un ouvert dans un schéma en préservant la structure ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford.

50. Immersion fermée

Une immersion fermée est un morphisme de schémas $i:Z\hookrightarrow X$ vérifiant : (1) $i$ induit un homéomorphisme de $|Z|$ vers un fermé $i(|Z|)\subset |X|$ (l'image topologique est fermée) ; (2) le morphisme $i^{\#}:{\mathcal{O}}^X\to i^{\ast }{\mathcal{O}}^Z$ est surjectif sur chaque ouvert (il existe un faisceau d'idéaux quasi-cohérent $\mathcal{I}\subset {\mathcal{O}}^X$ tel que ${\mathcal{O}}^Z\cong {\mathcal{O}}^X/\mathcal{I}$ ). Formellement, une immersion fermée $i:Z\to X$ est un morphisme affine dont le morphisme induit $i^{\#}:{\mathcal{O}}^X\to i^{\ast }{\mathcal{O}}^Z$ est surjectif en tant que morphisme de faisceaux d'anneaux. Les propriétés fondamentales : (1) les immersions fermées sont de présentation finie dès que $X$ est localement noethérien ; (2) les immersions fermées sont finies et affines ; (3) les immersions fermées sont stables par composition : la composition de deux immersions fermées est une immersion fermée ; (4) les immersions fermées sont stables par changement de base : pour tout morphisme $f:Y\to X$ , le morphisme induit $Z{\times }^{X}Y\to Y$ est une immersion fermée ; (5) tout morphisme affine s'écrit comme composition d'une immersion fermée et d'une immersion ouverte (localisation puis quotient) ; (6) pour une immersion fermée $i:Z\to X$ , le faisceau d'idéaux $\mathcal{I}=\ker (i^{\#})$ est quasi-cohérent, et $Z$ est exactement le sous-schéma fermé défini par $\mathcal{I}$ ; (7) les immersions fermées ont la propriété universelle : pour tout morphisme $f:Y\to X$ , l'ensemble des morphismes $Y\to Z$ au-dessus de $X$ (c'est-à-dire les morphismes commutant avec $i$ ) s'identifie aux morphismes $f^{\ast }\mathcal{I}=0$ (factorisation par le sous-schéma fermé). Les exemples : les sous-variétés fermées $V(f^1,\dots ,f^m)\subset {\mathbb{A}}^n$ définies par l'annulation de polynômes, le schéma réduit associé $X^{\text{red}}\hookrightarrow X$ (immersion fermée dont le faisceau d'idéaux est le nilradical), les sous-espaces linéaires fermés d'un espace projectif. Les immersions fermées sont duales aux immersions ouvertes en un sens catégorique : elles définissent les sous-schémas fermés et capturent la structure locale des équations définissantes. Les autres dénominations sont : closed immersion, inclusion fermée, morphisme fini affine de présentation finie, plongement fermé. La question compacte : comment définir un sous-schéma fermé d'un schéma par des équations locales ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford, Oscar Zariski.

51. Immersion régulière

Une immersion régulière est une immersion fermée $i:Z\hookrightarrow X$ telle que le faisceau d'idéaux $\mathcal{I}\subset {\mathcal{O}}^X$ définissant $Z$ est engendré localement par une suite régulière (regular sequence) : pour tout point $z\in Z$ , il existe un voisinage affine ouvert $U=\text{Spec}(A)$ de $i(z)$ et des éléments $f^1,\dots ,f^c\in A$ engendrant $\mathcal{I}{|}^U$ tels que : (1) pour chaque $j$ , l'élément $f^j$ n'est pas un diviseur zéro dans $A/(f^1,\dots ,f^{j-1})$ ; (2) l'idéal $(f^1,\dots ,f^c)$ est l'idéal de $Z\cap U$ . De manière équivalente, une immersion régulière est une immersion fermée de codimension constante telle que le faisceau d'idéaux est localement libre de rang égal à la codimension. Les propriétés fondamentales : (1) les immersions régulières sont non ramifiées et leurs fibrés normaux sont définis ; (2) pour une immersion régulière $i:Z\hookrightarrow X$ , il existe une suite exacte de faisceaux cotangents : $\mathcal{I}/{\mathcal{I}}^2\to {\Omega }^X{|}^Z\to {\Omega }^Z\to 0$ (conormal bundle) ; (3) les immersions régulières préservent la régularité (smoothness) : si $X$ est lisse et $Z$ est lisse, alors l'immersion régulière $i:Z\to X$ est étale ou a codimension bien définie ; (4) les immersions régulières sont stables par composition et changement de base ; (5) la notion de codimension est bien définie pour une immersion régulière : la dimension de la suite régulière est la codimension. Les exemples : les hypersurfaces lisses $\{f=0\}\subset X$ où $f$ est un élément régulier de ${\mathcal{O}}^X(X)$ , les intersections transversales lisses de sous-variétés, les sections régulières de fibrés vectoriels. Les immersions régulières sont fondamentales pour la théorie de l'intersection (Chow groups, cycle class maps) et pour la dualité de Poincaré en géométrie algébrique. Les autres dénominations sont : regular immersion, immersion de codimension constante, suite régulière définissante. La question compacte : quand un sous-schéma fermé est-il défini par une suite régulière ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Pierre Deligne, William Fulton.

52. Éclatement (blow-up)

Un éclatement (blow-up en anglais) d'un schéma $X$ le long d'un sous-schéma fermé $Z\subset X$ est un morphisme birationnel propre $\pi :XX$ avec les propriétés suivantes : (1) le morphisme $\pi$ induit un isomorphisme ${\pi }^{-1}(X\setminus Z)\stackrel{\sim }{}X\setminus Z$ (isomorphisme en dehors de $Z$ ) ; (2) il existe un faisceau inversible ample ${\mathcal{O}}^X(1)$ tel que l'idéal de ${\pi }^{-1}(Z)$ dans $X$est engendré par $H^0(X{\mathcal{O}}^X(1))$ (faisceau très ample). Formellement, $X{\text{Proj}}^X(\text{Sym}(\mathcal{I}))$ où $\mathcal{I}$ est le faisceau d'idéaux définissant $Z$ et $\text{Sym}(\mathcal{I})$ est l'algèbre symétrique (algebra of symmetric tensors). Pour un schéma affine $X=\text{Spec}(A)$ et un idéal $I\subset A$ définissant $Z=V(I)$ , l'éclatement est $X\text{Proj}(A[x^0,\dots ,x^n])/(t^i{x}^j-t^j{x}^i)$ où les $t^i$ engendrent $I$ . Les propriétés fondamentales : (1) l'éclatement est un isomorphisme en dehors du centre $Z$ (où il "éclate" le schéma) ; (2) la fibre au-dessus d'un point $z\in Z$ est une variété projective appelée le diviseur exceptionnel $E={\pi }^{-1}(Z)$ , isomorphe au projectivisé du cône normal $\mathbb{P}({\mathcal{C}}^{Z/X})$ ; (3) l'éclatement est universel : c'est l'éclatement minimal qui rend le centre $Z$ en un diviseur (faisceau d'idéaux inversible) ; (4) les éclatements successifs de sous-variétés disjointes commutent ; (5) la composée de deux éclatements est un éclatement (sous certaines conditions de transversalité). Les exemples : l'éclatement de l'origine dans ${\mathbb{A}}^2$ donne $\mathbb{A}\to {\mathbb{A}}^2$ avec diviseur exceptionnel $E\cong {\mathbb{P}}^1$ ; l'éclatement d'une courbe nodale isole les deux branches ; les résolutions de singularités (Hironaka) s'obtiennent par suite d'éclatements réguliers. Les éclatements sont fondamentaux pour l'étude des singularités, la théorie de l'intersection, et la géométrie birationnelle. Les autres dénominations sont : blow-up, éclaté, morphisme d'éclatement, morphisme divisoriel. La question compacte : comment séparer les composantes qui se rencontrent transversalement en un point par un morphisme birationnel ? Les contributeurs : Oscar Zariski, Heisuke Hironaka, David Mumford, Kenji Matsuki.

53. Contraction

Une contraction est un morphisme propre surjectif $\varphi :X\to Y$ entre schémas intègres noethériens tel que : (1) pour un point général $y\in Y$ , la fibre $X^y=X{\times }^Y\text{Spec}(\kappa (y))$ est connexe ; (2) $\varphi$ est un isomorphisme en codimension 1 : il existe un fermé $Z\subset X$ de codimension $\ge 2$ tel que $\varphi {|}^{X\setminus Z}$ est un isomorphisme vers son image ouverte. Formellement, une contraction est l'inverse birationnel d'un morphisme birationnel : si $\varphi :X\to Y$ est une contraction, alors il existe un morphisme birationnel (inverse) $\sigma :Y\to X$ avec $\varphi \circ \sigma ={\text{id}}^Y$ génériquement.

Les propriétés fondamentales : (1) les contractions sont propres et dominantes ; (2) une contraction envoie des diviseurs en des cycles de codimension plus petite ; (3) les contractions des courbes rationnelles et des diviseurs exceptionnels sont des exemples clés en géométrie birationnelle minimale ; (4) le programme de modèles minimaux (minimal model program) repose sur les contractions divisorielles (divisorial contractions) et les contractions de faisceaux (flips) ; (5) les contractions satisfont un critère numérique : un diviseur $D$ sur $X$ s'envoie en un cycle de codimension plus petite via une contraction si $(D\cdot C)<0$ pour toutes les courbes $C$ contractées.

Les exemples : la contraction de deux points infinitésimalement proches, la contraction d'une chaîne de courbes rationnelles (cascade contraction), la contraction d'une $(-2)$ -courbe sur une surface. Les contractions sont duales aux éclatements : si $\pi :XX$ est un éclatement de centre $Z$ , alors il existe (sous certaines conditions) une contraction inverse $X\to X$.

Les autres dénominations sont : contraction morphism, morphisme contractant, morphisme divisoriel.

La question compacte : quel est le morphisme qui réduit la taille d'une variété en supprimant certains cycles négatifs ?

Les contributeurs : Shigefumi Mori, Kenji Matsuki, Mikhail Gromov, Yuri Manin.

54. Revêtement étale

Un revêtement étale (ou étale cover) est un morphisme étale surjectif $f:X\to Y$ . De manière équivalente, $f:X\to Y$ est un revêtement étale si $f$ est un morphisme étale fini surjectif (ou si $f$ est étale et localement constant en nombre de feuilles sur chaque composante connexe de $Y$ ). Un revêtement étale fini $f:X\to Y$ peut être décrit comme suit : (1) $f$ est étale (non ramifié et plat) ; (2) pour tout $y\in Y$ , la fibre $X^y=f^{-1}(y)$ est un ensemble fini de points, chacun avec multiplicité 1 (pas de ramification) ; (3) le degré $\mathrm{deg}(f)=|X^y|$ est constant sur les composantes connexes de $Y$ . Les propriétés fondamentales : (1) les revêtements étales forment une catégorie équivalente à la catégorie des modules continus (topological modules) d'un groupe de Galois étale (groupe de Galois absolu) ; (2) les revêtements étales finis correspondent aux extensions séparables finies de corps ; (3) la théorie de Galois étale généralise la théorie de Galois classique : le groupe de Galois étale $\text{Gal}(\overline{k}/k)$ agit sur les revêtements étales de $\text{Spec}(k)$ et paramètre les extensions séparables de $k$ ; (4) les revêtements étales sont stables par composition et changement de base ; (5) tout revêtement étale surjectif admet des sections locales (propriété locale) ; (6) les revêtements étales satisfont une propriété de descente fidèlement plate : un faisceau quasi-cohérent sur $X$ qui descend via le revêtement provient d'un faisceau sur $Y$ .

Les exemples : les racines $n$ -ièmes $\sqrt[n]{x}$ définissent des revêtements étales de ${\mathbb{G}}^m$ lorsque $n$ est premier à la caractéristique ; les revêtements cycliques de courbes hyperelliptiques ; les revêtements du type Kummer et Artin-Schreier (en caractéristique positive).

La synthèse géométique : la catégorie des revêtements étales d'un schéma $X$ est équivalente (via le théorème de Grothendieck) à la catégorie des ensembles munis d'une action continue du groupe de Galois étale ${\pi }^1(X)$ (groupe fondamental étale).

Les autres dénominations sont : étale covering, unramified covering, revêtement non ramifié, covering space en topologie algébrique.

La question compacte : comment généraliser la théorie de Galois classique en géométrie algébrique via les revêtements non ramifiés ?

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre, Michel Raynaud, Luc Illusie, SGA 1.

55. Revêtement ramifié

Un revêtement ramifié (ou ramified covering) est un morphisme fini surjectif $f:X\to Y$ qui n'est pas étale : le morphisme $f$ est plat mais non non ramifié (c'est-à-dire que le morphisme en fibrés tangents ${\Omega }^Y\otimes {\mathcal{O}}^X\to {\Omega }^X$ n'est pas un isomorphisme en certains points). Formellement, un revêtement ramifié peut être décomposé comme suit : (1) il existe un fermé $R\subset Y$ de codimension 1 (le locus de ramification) tel que $f{|}^{f^{-1}(Y\setminus R)}:f^{-1}(Y\setminus R)\to Y\setminus R$ est un revêtement étale ; (2) au-dessus de points dans $R$ , le morphisme $f$ a multiplicité $>1$ (ramification). Les propriétés fondamentales : (1) pour un revêtement ramifié $f:X\to Y$ de degré $d$ , l'indice de ramification $e^x={\text{ord}}^x({\text{Diff}}^{X/Y})$ en un point $x\in f^{-1}(y)$ mesure le degré de ramification (combien de feuilles du revêtement se collent) ; (2) la formule de Riemann-Hurwitz pour les courbes : $\mathrm{deg}({\text{Diff}}^{X/Y})=2g(X)-2-d(2g(Y)-2)$ où $d=\mathrm{deg}(f)$ et $g$ est le genre ; (3) les points de ramification sont en nombre fini pour un revêtement ramifié fini entre courbes ; (4) le conducteur (conductor) mesure le "degré de ramification" à la limite ; (5) l'extension de corps induite $K(X)/K(Y)$ entre les corps de fractions est séparable pour les revêtements en caractéristique 0, mais peut être inséparable en caractéristique $p>0$ .

Les exemples : le revêtement ${\mathbb{A}}^1\to {\mathbb{A}}^1$ donné par $t\mapsto t^n$ (ramification à l'infini en caractéristique $\nmid n$ , ou au point 0 en caractéristique $p|n$ avec inséparabilité), les courbes hyperelliptiques $y^2=f(x)$ qui ramifient aux racines de $f$ , les revêtements Kummer et Artin-Schreier en caractéristique positive. Les revêtements ramifiés jouent un rôle fondamental dans la théorie de Galois supérieure (higher dimensional Galois theory), l'étude des extensions de corps de nombres, et la géométrie arithmétique.

Les autres dénominations sont : ramified covering, revêtement à ramification, covering with branch locus.

La question compacte : comment généraliser les revêtements étales en autorisant la ramification le long d'une sous-variété de codimension 1 ?

Les contributeurs : Bernhard Riemann, Adolf Hurwitz, Alexander Grothendieck, Michel Raynaud, SGA 1.

56. Morphisme universellement fermé

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est universellement fermé si pour tout morphisme $g:Y^{\prime }\to Y$ , le morphisme induit $f^{Y^{\prime }}:X{\times }^Y{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$ est fermé (toute image d'un fermé de $X{\times }^Y{Y}^{\prime }$ est fermée dans $Y^{\prime }$ ). Formellement, un morphisme $f:X\to Y$ est universellement fermé si pour tout changement de base $g:Y^{\prime }\to Y$ , le diagramme commutatif :

X×Y​Y′↓X​fY′​​​Y′↓gY​

a la propriété que $f^{Y^{\prime }}$ est fermé. Les propriétés fondamentales : (1) les morphismes propres sont universellement fermés ; (2) les morphismes universellement fermés sont stables par composition : si $f:X\to Y$ et $g:Y\to Z$ sont universellement fermés, alors $g\circ f:X\to Z$ est universellement fermé ; (3) un morphisme quasi-compact séparé est universellement fermé (critère : séparation + quasi-compacité implique fermeture universelle) ; (4) les morphismes finis sont universellement fermés ; (5) pour un morphisme universellement fermé $f:X\to Y$ , l'image de tout fermé constructible est fermée ; (6) le critère valuatif pour la fermeture universelle : $f$ est universellement fermé si et seulement si pour tout anneau de valuation $V$ avec corps des fractions $K$ , si $x:\text{Spec}(K)\to X$ est un morphisme tel que la composée $\text{Spec}(K)\to X\to Y$ s'étend en $\text{Spec}(V)\to Y$ , alors le morphisme $\text{Spec}(K)\to X$ s'étend en un morphisme $\text{Spec}(V)\to X$ .

Les exemples : les morphismes affines sont universellement fermés si la base est noethérienne, les projections de produits $X\times Y\to X$ sont universellement fermées pour $Y$ noethérien.

Remarque : Les morphismes universellement fermés sont moins restrictifs que les morphismes propres (qui demandent en sus la séparation).

Les autres dénominations sont : universally closed morphism, morphisme fermé stable par changement de base.

La question compacte : quel est l'analogue schématique de la propriété de fermeture des applications continues d'espaces compacts ?

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford.

57. Morphisme propre et lisse

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est propre et lisse s'il satisfait simultanément les deux conditions : (1) $f$ est propre (séparé, de type fini, universellement fermé) ; (2) $f$ est lisse (de présentation finie, plat, fibrés tangents relatifs libres de rang égal à la dimension relative). Un morphisme propre et lisse est appelé une famille lisse d'espaces propres.

Les propriétés fondamentales : (1) les morphismes propres et lisses ont des fibres lisses de dimension constante (dimension relative bien définie) ; (2) pour un morphisme propre et lisse $f:X\to Y$ , le faisceau des différentielles relatives ${\Omega }^{X/Y}$ est un faisceau localement libre de rang égal à la dimension relative relative $\dim (X)-\dim (Y)$ ; (3) les morphismes propres et lisses satisfont la propriété de dualité de Verdier : il existe un complexe dualisant relatif ${\omega }^{X/Y}$ et un morphisme de trace ${\text{Tr}}^{X/Y}:R{f}^{\ast }{\omega }^{X/Y}\to {\mathcal{O}}^Y$ ; (4) les morphismes propres et lisses sont cohérents : les images directes supérieures de faisceaux quasi-cohérents sont cohérentes (théorème de Grothendieck) ; (5) la cohomologie des fibres varie continûment : pour un morphisme propre et lisse $f:X\to Y$ , les fibres $X^y$ sont des variétés propres lisses de dimension constante, et les groupes $H^i(X^y,{\mathcal{F}}^y)$ varient continûment (saut cohomologique le long de fermés Zariski fermés de lower dimension) ; (6) les variétés abéliennes sur une base lisse et propre forment un champ algébrique proper et lisse.

Les exemples : les projections ${\mathbb{P}}^Y\to Y$ de l'espace projectif relatif, les courbes lisses de genre $g$ au-dessus d'une base, les surfaces K3 universelles paramétrées par un champ.

Remarque : Le théorème de Grothendieck sur la semicontinuité de la cohomologie concerne les morphismes propres et lisses (ou plus généralement propres) : pour un tel morphisme et un faisceau cohérent, les groupes de cohomologie des fibres varient continûment.

Les autres dénominations sont : smooth and proper morphism, morphisme propre régulier, famille lisse d'espaces compacts.

La question compacte : comment paramétrer les familles de variétés lisses propres au-dessus d'une base ?

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre, David Mumford, Pierre Deligne, Robin Hartshorne, Daniel Huybrechts.

58. Revêtement de Galois (Galois cover)

Un revêtement de Galois est un revêtement étale fini $f:X\to Y$ tel que : (1) l'extension de corps $K(X)/K(Y)$ (entre les corps de fractions) est une extension galoisienne (séparable finie avec groupe d'automorphismes de cardinal égal au degré de l'extension) ; (2) il existe un groupe fini $G$ agissant sur $X$ au-dessus de $Y$ (c'est-à-dire que les automorphismes de $X$ au-dessus de $Y$ forment un groupe de cardinal égal au degré du revêtement). Formellement, un revêtement de Galois $f:X\to Y$ de groupe $G$ s'écrit comme $Y=X/G$ (quotient par l'action du groupe).

Les propriétés fondamentales : (1) tout revêtement de Galois est déterminé par son groupe de Galois $\text{Gal}(X/Y)=\text{Aut}(X/Y)$ (automorphismes au-dessus de $Y$ ) ; (2) les revêtements de Galois sont stables par composition : si $f:X\to Y$ et $g:Y\to Z$ sont des revêtements de Galois avec groupes $G$ et $H$ , alors $g\circ f:X\to Z$ est un revêtement de Galois avec groupe $G\times H$ (sous certaines conditions) ; (3) la théorie de Galois étale généralise la théorie de Galois classique : les revêtements de Galois de $\text{Spec}(k)$ correspondent aux extensions galoisiennes finies de $k$ , et le groupe de Galois étale $\text{Gal}(\overline{k}/k)$ classifie les revêtements ; (4) pour un revêtement de Galois $f:X\to Y$ de groupe $G$ , l'anneau ${\mathcal{O}}^Y$ est l'anneau des invariants ${\mathcal{O}}^X$ (sections $G$ -invariantes de ${\mathcal{O}}^X$ ) ; (5) les revêtements de Galois sont déterminés à isomorphisme par leur groupe de Galois et les relations de ramification ; (6) le quotient $X\to X/G$ est un revêtement de Galois de groupe $G$ .

Les exemples : les racines $n$ -ièmes primitives $\sqrt[n]{t}$ définissent un revêtement de Galois de ${\mathbb{G}}^m$ de groupe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (cyclique) ; les revêtements de Kummer et Artin-Schreier ; les revêtements hyperelliptiques de courbes affines. Les revêtements de Galois jouent un rôle fondamental dans la théorie du groupe fondamental étale (Grothendieck) : le groupe fondamental étale ${\pi }^1(X)$ est le groupe qui paramètre les revêtements de Galois de $X$ .

Les autres dénominations sont : Galois covering, revêtement galoisien, extension galoisienne étale.

La question compacte : comment généraliser la théorie de Galois des extensions de corps aux revêtements étales finis ?

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre, Michel Raynaud, Luc Illusie, SGA 1, SGA 4.

59. Morphisme de Frobenius

Le morphisme de Frobenius est un endomorphisme canonique de tout schéma défini sur un corps ou un anneau de caractéristique $p>0$ . Formellement, pour un schéma $X$ en caractéristique $p$ , le morphisme de Frobenius absolu $F^{\text{abs}}:X\to X$ est défini par l'identité sur l'espace topologique $|X|$ et par le $p$ -ième élévation à la puissance sur le faisceau structural : $F^{\text{abs}}:{\mathcal{O}}^X\to F^{\text{abs},\ast }{\mathcal{O}}^X$ , $x\mapsto x^p$ . Plus précisément : (1) sur un schéma affine $\text{Spec}(A)$ en caractéristique $p$ , le morphisme de Frobenius est induit par le morphisme d'anneaux $A\to A$ défini par $a\mapsto a^p$ (qui n'est pas un homomorphisme d'anneaux dans le sens habituel, mais un morphisme par la remarque que c'est un morphisme $A$ -linéaire au niveau des modules). (2) le Frobenius relatif $F^{X/S}:X\to X^{(p)}$ est le morphisme qui relève le Frobenius absolu en tenant compte de la base : $X^{(p)}=X{\times }^{S}S$ via le Frobenius de $S$ .

Les propriétés fondamentales : (1) le Frobenius absolu n'est jamais séparé (sauf en dimension 0 finie) car l'extension $k\to k$ via $x\mapsto x^p$ n'est pas séparable ; (2) pour un schéma lisse $X$ sur un corps parfait $k$ , le Frobenius relatif $F^{X/k}:X\to X$ n'est pas lisse mais génériquement un isomorphisme d'ordre 1 en dehors des singularités ; (3) le Frobenius commute avec les changements de base et les morphismes de schémas ; (4) les puissances de Frobenius $F^n=F\circ \cdots \circ F$ ( $n$ fois) mesurent des propriétés de régularité en caractéristique $p$ (F-regularity, F-singularities) ; (5) le Frobenius induit une action du groupe de Galois absolu $\text{Gal}(\overline{k}/k)$ sur les revêtements étales (l'action de Frobenius en géométrie arithmétique) ; (6) pour les variétés abéliennes, le Frobenius agit sur les points $p$ -adiques et détermine les endomorphismes ; (7) le noyau du Frobenius est trivial (injectif), mais le conoyau mesure les singularités ; (8) la hauteur de Frobenius (Frobenius height) mesure le défaut de lissité en caractéristique $p$ .

Les exemples : pour une courbe hyperelliptique $y^p=f(x)$ en caractéristique $p$ , le Frobenius $x\mapsto x^p,y\mapsto y^p$ montre que la courbe est dominée par une courbe rationnelle via le Frobenius ; les courbes supersingulaires sont celles où le Frobenius agit trivialement sur la cohomologie cristalline ; les entiers $p$ -adiques ${\mathbb{Z}}^p$ ont un Frobenius qui élève chaque élément à la puissance $p$ . Le morphisme de Frobenius est fondamental en géométrie arithmétique pour l'étude des points rationnels, les congruences, et la théorie des endomorphismes de variétés abéliennes.

Les autres dénominations sont : Frobenius endomorphism, absolute Frobenius, relative Frobenius, Frobenius morphism.

La question compacte : comment formaliser l'opération $x\mapsto x^p$ en géométrie algébrique en caractéristique $p$ ?

Les contributeurs : Ferdinand Georg Frobenius, Alexander Grothendieck, Pierre Deligne, Jean-Pierre Serre, Noboru Murty, Pu Zhang.

60. Normalisation

La normalisation d'un schéma $X$ intègre (ou réduit) est un morphisme fini $\nu :X^{\text{norm}}\to X$ où $X^{\text{norm}}=\text{Spec}(\overline{A})$ est le spectre de la clôture intégrale de l'anneau $A=\Gamma (X,{\mathcal{O}}^X)$ de $X$ , et $\nu$ induit un isomorphisme sur l'ensemble des points génériques (ouverts denses d'irréductibilité). Formellement, pour un schéma noethérien réduit $X=\text{Spec}(A)$ avec $A$ intégralement fermé (normal), la normalisation est définie comme suit : (1) dans le localisé $A^{(0)}=\text{Frac}(A)$ , on considère la clôture intégrale $\overline{A}$ de $A$ dans son corps des fractions $K(A)$ (les éléments $x\in K(A)$ satisfaisant une équation intégrale $x^n+a^{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a^0=0$ avec $a^i\in A$ ) ; (2) la normalisation est $X^{\text{norm}}=\text{Spec}(\overline{A})$ ; (3) le morphisme $\nu :X^{\text{norm}}\to X$ est fini et dominant.

Les propriétés fondamentales : (1) la normalisation est universelle : tout morphisme fini $f:Y\to X$ de domaine normal se factorise uniquement par $\nu :X^{\text{norm}}\to X$ (propriété universelle du normalisé) ; (2) le morphisme $\nu :X^{\text{norm}}\to X$ est birationnel (isomorphisme sur un ouvert dense) ; (3) pour un schéma normal $X$ , on a $X^{\text{norm}}\cong X$ (la normalisation d'une variété normale est elle-même) ; (4) la normalisation préserve certaines propriétés : si $X$ est irréductible, alors $X^{\text{norm}}$ est irréductible et intégralement fermé ; (5) pour une variété normale intègre, le diviseur en codimension 1 (diviseurs de Weil) coïncide avec les diviseurs de Cartier (faisceaux inversibles) : c'est le critère S2 de Serre ; (6) la normalisation est un morphisme régulier (smooth) en codimension 1 : l'ensemble des points où $\nu$ n'est pas un isomorphisme a codimension $\ge 2$ ; (7) le conducteur (conductor) $\mathfrak{c}\subset A$ est l'idéal maximal annulant $\overline{A}/A$ (la différence entre les anneaux) ; (8) la ramification de la normalisation $X^{\text{norm}}\to X$ est concentrée sur le support du conducteur, qui est un sous-schéma fermé de codimension $\ge 1$ .

Les exemples : pour une courbe nodale $y^2=x^2(x+1)$ en $(0,0)$ , la normalisation isole les deux branches en les séparant par un morphisme birationnel 2-à-1 au nœud ; pour une courbe de degré $d$ avec $\delta$ points singuliers de multiplicité $\ge 2$ , le genre géométrique (caractéristique d'Euler) satisfait la formule de Riemann-Hurwitz modifiée ; pour un anneau intégralement fermé non noethérien, la clôture intégrale est généralement non noethérienne (exemple : le localisé d'une courbe lisse en infinité de points singuliers). La normalisation est fondamentale pour l'étude des singularités, la théorie de l'intersection, et les invariants birationnels.

Les autres dénominations sont : normalization, normalisé d'un schéma, clôture intégrale, integral closure.

La question compacte : comment rendre un schéma intégralement fermé en le remplaçant par son plus grand quotient normal birationnel ?

Les contributeurs : Emmy Noether, Oscar Zariski, Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford, Masayoshi Nagata.

Morphismes

31. Morphisme de schémas

32. Morphisme fini

33. Morphisme quasi-fini

34. Morphisme propre

35. Morphisme projectif

36. Morphisme affine

37. Morphisme plat

38. Morphisme fidèlement plat

39. Morphisme lisse

40. Morphisme étale

41. Morphisme non ramifié

42. Morphisme séparé

43. Morphisme de type fini

44. Morphisme de présentation finie

45. Morphisme quasi-compact

46. Morphisme quasi-séparé

47. Morphisme dominant

48. Morphisme birationnel

49. Immersion ouverte

50. Immersion fermée

51. Immersion régulière

52. Éclatement (blow-up)

53. Contraction

54. Revêtement étale

55. Revêtement ramifié

56. Morphisme universellement fermé

57. Morphisme propre et lisse

58. Galois cover

59. Morphisme de Frobenius

60. Normalisation