SCIENCE / MATHEMATHIQUES / A3611. Catégorification de Rouquier

La catégorification de Rouquier propose une approche conceptuelle et structurée de la catégorification des algèbres quantiques, en s’appuyant sur des 2-catégories définies de manière axiomatique plutôt que purement diagrammatique. Rouquier introduit des 2-représentations, c’est-à-dire des actions de 2-catégories sur des catégories (souvent triangulées ou dérivées), qui permettent de réaliser concrètement les générateurs et relations de $U^q(\mathfrak{g})$ comme des foncteurs exacts et leurs transformations naturelles.

Dans ce cadre, les opérateurs fondamentaux de l’algèbre quantique sont interprétés comme des foncteurs d’induction et de restriction, ou plus généralement comme des foncteurs agissant sur des catégories de modules ou de faisceaux. Les relations entre ces opérateurs sont traduites en isomorphismes de foncteurs, satisfaisant des contraintes de cohérence qui reflètent les relations de Serre de l’algèbre de Lie sous-jacente. Cette perspective met en lumière le rôle des structures homologiques et des catégories dérivées, ce qui permet d’utiliser des outils puissants issus de la géométrie algébrique et de la théorie des faisceaux.

Un aspect clé de l’approche de Rouquier est son universalité : les 2-catégories qu’il construit sont caractérisées par des propriétés abstraites qui les rendent indépendantes de réalisations particulières. Cela permet de comparer différentes catégorifications (comme celles de Khovanov–Lauda) et de montrer qu’elles sont équivalentes dans un sens approprié. De plus, cette approche relie la catégorification à des objets géométriques profonds, comme les variétés de quiver, les catégories de faisceaux pervers ou les catégories dérivées cohérentes.

Enfin, la catégorification de Rouquier a des applications majeures en théorie des représentations des algèbres de Lie et des groupes quantiques, ainsi que dans l’étude des invariants topologiques. Elle fournit un langage unifié pour comprendre comment des structures algébriques complexes émergent de données catégoriques, tout en offrant des outils pour construire explicitement des représentations et analyser leurs propriétés fines.