MATHEMATIQUES / THÉORIE DES SCHÉMAS

Un schéma est un espace géométrique généralisé construit à partir de l’algèbre. Il permet de faire de la géométrie avec des nombres réels, des nombres complexes, des nombres rationnels, des corps finis, les entiers, des anneaux compliqués.

C’est le langage mathématique moderne qui permet d’étudier ces espaces généralisés. En somme, elle transforme des problèmes d’équations et de nombres en problèmes géométriques. La théorie des schémas est une généralisation puissante de la géométrie algébrique classique et inventée principalement par Alexandre Grothendieck dans les années 1960. Le problème de départ est le suivant : la géométrie algébrique classique fonctionne bien sur les nombres réels ou complexes, mais devient bancale quand on veut :

• travailler sur d'autres systèmes de nombres (entiers, nombres modulo p...),
• traiter des « points doubles », des objets avec multiplicités,
• unifier la géométrie et la théorie des nombres.

Le postulat génial de Grothendieck : un objet géométrique n'est pas qu'un ensemble de points — il est entièrement déterminé par l'ensemble des fonctions qu'on peut définir dessus. On part donc d'un anneau (les fonctions) et on en fabrique un espace géométrique : c'est un schéma. On peut prendre une analogie, au lieu de décrire un pays par ses villes, on le décrit par tout ce qu'on peut y mesurer (températures, altitudes, populations...). Si on connaît toutes les mesures possibles, on reconstitue le pays. Pourquoi c'est puissant ?

• Cela unifie géométrie et arithmétique (les nombres entiers deviennent un objet géométrique !).
• Cela permet de manipuler des objets « bizarres » (points épaissis, objets infinitésimaux).
• Cela a mené à des résultats spectaculaires : démonstration du dernier théorème de Fermat par Wiles, conjectures de Weil par Deligne, programme de Langlands, etc.

En une phrase : la théorie des schémas, c'est le langage universel moderne pour faire de la géométrie avec n'importe quel type d'équations algébriques et avec n'importe quel type de nombres. On peut appliquer des « recettes » de géométries (des transformations) sur ces équations algébriques et sur ces nombrés.

La théorie des schémas a été développée principalement par Alexandre Grothendieck dans les années 1960, dans le cadre monumental des EGA (Éléments de Géométrie Algébrique). Elle généralise la notion de variété algébrique classique en unifiant :

• la géométrie algébrique sur un corps quelconque (y compris non algébriquement clos),
• l'arithmétique (géométrie sur ℤ),
• les phénomènes infinitésimaux (éléments nilpotents),
• la théorie des nombres et la géométrie complexe.

L'idée fondamentale : un schéma est un objet géométrique construit à partir d'un anneau commutatif quelconque.

Du géométrique à l'algébrique

Sur un corps algébriquement clos k, le théorème des zéros de Hilbert (Nullstellensatz) établit une correspondance :

$$\{\text{varieˊteˊs affines dans }{k}^n\}⟷\{\text{algèbres de type fini réduites sur }k\}$$

Grothendieck propose de généraliser à tout anneau commutatif A, sans hypothèse de finitude ni de réduction.

Le spectre d'un anneau : Spec(A)

Pour A un anneau commutatif unitaire, on définit :

$$\mathrm{Spec}(A)=\{\mathfrak{p}\subset A\mid \mathfrak{p}\text{ ideˊal premier}\}$$

Les fermés sont les ensembles :

$$V(I)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}(A)\mid I\subset \mathfrak{p}\}$$

pour I un idéal de A. Les ouverts de base sont les D(f) = {𝔭 | f ∉ 𝔭}.

• Points fermés : correspondent aux idéaux maximaux (points "classiques")
• Points génériques : correspondent aux idéaux premiers non maximaux

Exemple : Spec(ℤ) contient les points (p) pour p premier, et un point générique (0)

Sur Spec(A), on définit un faisceau d'anneaux 𝒪 tel que :

• 𝒪(D(f)) = A_f (localisation)
• La tige en 𝔭 est l'anneau local A_𝔭

Le couple (Spec(A), 𝒪) est un espace localement annelé.

La définition d'un schéma

Un schéma affin est un espace localement annelé isomorphe à (Spec(A), 𝒪_{Spec(A)}) pour un certain anneau A.

Un schéma (X, 𝒪_X) est un espace localement annelé tel que tout point admet un voisinage ouvert U avec (U, 𝒪_X|_U) isomorphe à un schéma affin. L'idée est qu'un schéma se recolle localement à partir de spectres d'anneaux, comme une variété se recolle à partir d'ouverts de ℝⁿ.

Un morphisme f : X → Y est un morphisme d'espaces localement annelés, c'est-à-dire :

• une application continue f : X → Y,
• un morphisme de faisceaux f^# : 𝒪_Y → f₊𝒪_X,
• tel que les morphismes induits sur les tiges soient locaux (envoient l'idéal maximal dans l'idéal maximal).

$${\mathrm{Hom}}^{\mathrm{Sch}}(\mathrm{Spec}(A),\mathrm{Spec}(B))\cong {\mathrm{Hom}}^{\mathrm{Ann}}(B,A)$$

La catégorie des schémas affines est équivalente à l'opposée de la catégorie des anneaux commutatifs.

Quelques exemples de base

• Spec(k) = un point (k corps)
• Spec(k[x]) = droite affine 𝔸¹_k
• Spec(k[x,y]) = plan affine 𝔸²_k
• Spec(ℤ) : "courbe arithmétique"
• Spec(k[ε]/(ε²)) : point double, schéma non réduit (essentiel pour la théorie des déformations)

Pour S = ⊕ S_n algèbre graduée, on construit Proj(S) :

• les points sont les idéaux premiers homogènes ne contenant pas S₊
• ℙⁿ_k = Proj(k[x₀,...,xₙ]) est l'espace projectif

• ℙⁿ n'est pas affine pour n ≥ 1
• La droite affine avec origine doublée (exemple de schéma non séparé)

Son foncteur des points

Pour X schéma et T schéma, un T-point de X est un morphisme T → X.

$$h^X:{\mathrm{Sch}}^{op}\to \mathrm{Ens},T\mapsto \mathrm{Hom}(T,X)$$

Un schéma X est déterminé par son foncteur des points h_X. Cela permet de définir des schémas via leurs foncteurs (représentabilité).

Pour X = Spec(ℤ[x,y]/(x² + y² − 1)) :

• les A-points sont les solutions de x² + y² = 1 dans A
• les ℝ-points forment le cercle, les ℚ-points sont rationnels, etc.

Les propriétés des schémas

• Réduit : 𝒪_X n'a pas d'éléments nilpotents
• Intègre : irréductible et réduit
• Régulier : tous les anneaux locaux sont réguliers (généralisation de la lissité)
• Normal : anneaux locaux intégralement clos

• La dimension de Krull de X généralise la dimension géométrique.

Les propriétés principales des morphismes

• Quasi-compact : préimage d'un quasi-compact est quasi-compact
• Séparé : la diagonale Δ : X → X ×_Y X est fermée (analogue de Hausdorff)
• Propre : séparé, de type fini, et universellement fermé

• De type fini : localement, B est une A-algèbre de type fini
• Plat : 𝒪_X est plat sur f⁻¹𝒪_Y (uniformité géométrique des fibres)
• Lisse : analogue algébrique des submersions
• Étale : lisse de dimension relative 0 (analogue des revêtements)
• Non ramifié : Ω¹_{X/Y} = 0

$$\text{étale }\subset \text{lisse }\subset \text{plat}$$

Le produit fibré et le changement de base

Pour X → S et Y → S, le produit fibré X ×_S Y existe toujours dans la catégorie des schémas.

Sur les affines : Spec(A) ×_{Spec(R)} Spec(B) = Spec(A ⊗_R B)

• Fibres d'un morphisme f : X → Y au point y : X_y = X ×_Y Spec(κ(y))
• Changement de base : permet d'étudier une famille de schémas paramétrée
• Unifie la géométrie absolue et relative

Les faisceaux quasi-cohérents

Un faisceau de 𝒪_X-modules ℱ est dit quasi-cohérent si localement, sur le spectre, noté Spec(A), il est associé à un A-module M, noté M̃. Un faisceau est dit cohérent s'il est: quasi-cohérent de base et qu'en plus localement, il est de type fini (c'est-à-dire basé sur un schémas noethériens).

Dès lors on a l'équivalence fondamentale sur un schéma affin Spec(A) :

$$\{\text{faisceaux quasi-coheˊrents}\}\simeq \{A\text{-modules}\}$$

• Faisceau structural 𝒪_X
• Faisceaux inversibles (rang 1 localement libres) → groupe de Picard
• Faisceau des différentielles Ω¹_{X/S}
• Faisceaux idéaux définissant les sous-schémas fermés

En cohomologie des faisceaux

Pour ℱ un faisceau abélien sur X, on définit Hⁱ(X, ℱ) via les foncteurs dérivés du foncteur des sections globales. Cela permet l'usage de Quelques théorèmes clés comme :

• Théorème d'annulation de Serre : sur X affine, Hⁱ(X, ℱ) = 0 pour i ≥ 1 et ℱ quasi-cohérent
• Théorème de finitude : sur X propre sur k et ℱ cohérent, Hⁱ(X, ℱ) est de dimension finie
• Dualité de Serre : sur X projectif lisse de dimension n, Hⁱ(X, ℱ) ≃ H^{n−i}(X, ℱ^∨ ⊗ ω_X)*

Pour un fibré ℒ sur une courbe X projective lisse de genre g :

$$\chi (X,\mathcal{L})=\mathrm{deg}(\mathcal{L})+1-g$$

Généralisé par Grothendieck-Riemann-Roch en toute dimension.

Les schémas relatifs et la géométrie sur une base

L'approche philosophique de Grothendieck est la suivante : Ne pas étudier un schéma seul, maispar familles : un morphisme f : X → S est vu comme une famille de schémas (les fibres) paramétrée par S. Les avantages que cela procure :

• Unification : "schéma sur ℂ" et "schéma sur ℤ" relèvent du même formalisme
• Déformations naturelles via Spec(k[ε]/(ε²))
• Théorèmes uniformes (semicontinuité, théorèmes de constance)

les extensions et les développements

Construits par limite à partir de Spec(A/Iⁿ) : permettent d'étudier les voisinages infinitésimaux.

Généralisation des schémas pour les espaces de modules (où les automorphismes interdisent une représentation par un schéma).

Pour aller au-delà de Zariski (souvent trop grossière) :

• Topologie étale → cohomologie étale, conjectures de Weil
• Topologies fppf, fpqc → descente fidèlement plate

Schémas dont les anneaux structuraux sont des anneaux simpliciaux ou des E∞-anneaux : nécessaire pour la théorie moderne des intersections et déformations.

Succès historiques

La théorie des schémas a permis de démontrer :

• Conjectures de Weil (Deligne 1974, via cohomologie ℓ-adique)
• Théorème de Faltings (conjecture de Mordell, 1983)
• Théorème de modularité et théorème de Fermat (Wiles 1995)
• Programme de Langlands géométrique
• Théorie des motifs

Conclusion

La théorie des schémas est le langage universel de la géométrie algébrique moderne. Elle unifie géométrie, algèbre commutative et théorie des nombres, et fournit le cadre conceptuel pour les avancées majeures du XXᵉ et XXIᵉ siècles. Voici quelques références consultables :

• Hartshorne, Algebraic Geometry (introduction classique, chap. II-III)
• Vakil, The Rising Sea (libre en ligne, pédagogique)
• Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes
• EGA I-IV de Grothendieck-Dieudonné (référence ultime)
• Stacks Project (stacks.math.columbia.edu)

5. Schéma

Un schéma est un espace localement annelé (X,OX​) qui est localement isomorphe à un schéma affine (Spec(A),OSpec(A)​) pour des anneaux commutatifs unitaires A . Plus précisément, c'est un espace topologique X muni d'un faisceau d'anneaux commutatifs OX​ (faisceau structural) tel que tout point x∈X admet un voisinage ouvert U pour lequel (U,OX​∣U​)≅(Spec(A),OSpec(A)​) pour un certain anneau A . La notion de schéma, introduite par Grothendieck dans les années 1958-1960 (EGA), généralise radicalement celle de variété algébrique : elle permet de travailler sur un anneau de base quelconque (y compris Z , ce qui donne la géométrie arithmétique), d'incorporer les nilpotents (faisceaux non réduits), et de traiter les schémas relatifs (morphismes X→S ). Les schémas forment une catégorie dont les morphismes sont les morphismes d'espaces localement annelés. Les foncteurs représentables par des schémas (foncteurs de points) donnent une vision alternative : un schéma X est déterminé par le foncteur hX​:Schop→Ens , T↦Hom(T,X) . Les autres dénominations sont : schéma de Grothendieck, schéma EGA, espace localement annelé de type schéma. La question compacte : quel est l'objet géométrique le plus général combinant topologie de Zariski et algèbre commutative ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Pierre Gabriel, David Mumford, Jean-Pierre Serre.

6. Schéma affine

Un schéma affine est un schéma (X,OX​) isomorphe à (Spec(A),OSpec(A)​) pour un anneau commutatif unitaire A . L'espace topologique sous-jacent Spec(A) est l'ensemble des idéaux premiers de A , muni de la topologie de Zariski dont les fermés sont V(I)={p⊃I} . Les ouverts de base sont D(f)={p:f∈/p}≅Spec(Af​) . Le faisceau structural est défini par OSpec(A)​(D(f))=Af​ et la fibre en p est OX,p​=Ap​ (localisé en p ). La correspondance A↦Spec(A) est une antiéquivalence de catégories entre anneaux commutatifs unitaires et schémas affines. Les points fermés de Spec(A) (idéaux maximaux) correspondent aux points classiques, le point générique (idéal premier minimal) encode les informations birationnelles, et les points nilpotents (idéaux premiers contenant des nilpotents) représentent les directions infinitésimales. Les schémas affines sont les briques de base de tous les schémas. Les autres dénominations sont : spectre d'un anneau, affine scheme, Spec(A) . La question compacte : comment associer un espace géométrique à un anneau commutatif quelconque ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Emmy Noether, Wolfgang Krull, Jean-Pierre Serre.

7. Schéma projectif

Un schéma projectif sur un anneau A est un schéma de la forme Proj(S) où S=⨁d≥0​Sd​ est une A -algèbre graduée de type fini engendrée par S1​ sur S0​=A . L'espace PAn​=Proj(A[x0​,…,xn​]) est l'espace projectif standard sur A . Un A -schéma projectif est un sous-schéma fermé de PAn​ pour un certain n , défini par un idéal homogène de A[x0​,…,xn​] . Les schémas projectifs sur un corps k sont propres sur k (version schématique de la compacité), et par le théorème fondamental de la théorie de l'élimination, l'image d'un morphisme projectif est fermée. Les faisceaux cohérents sur Proj(S) sont étudiés via les modules gradués sur S (théorème de Serre : tout faisceau cohérent sur Proj(S) est isomorphe à M~ pour un S -module gradué de type fini M ). La cohomologie des faisceaux cohérents sur Pn est calculée par les groupes Hi(Pn,O(d)) (formules de Serre). Les autres dénominations sont : Proj d'une algèbre graduée, projective scheme, sous-schéma fermé de Pn . La question compacte : comment construire l'analogue schématique des variétés projectives ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre, David Mumford, Oscar Zariski.

8. Spec d'un anneau

Le spectre Spec(A) d'un anneau commutatif unitaire A est l'ensemble de tous les idéaux premiers de A , muni de la topologie de Zariski (les fermés sont V(I)={p:p⊃I} pour les idéaux I⊂A ) et du faisceau structural O . Les propriétés fondamentales : Spec(A) est un espace topologique T0​ (mais généralement non T1​ : les points fermés sont exactement les idéaux maximaux) ; il est quasi-compact (toute famille d'ouverts recouvrant Spec(A) admet un sous-recouvrement fini) ; les ouverts D(f) forment une base d'ouverts affines. Les points de Spec(A) ont une signification géométrique précise : les idéaux maximaux sont les points fermés (points classiques), les idéaux premiers non maximaux sont des points génériques de sous-variétés, et l'idéal premier (0) (si A est intègre) est le point générique de Spec(A) tout entier. La fonctorialité est contravariante : un morphisme d'anneaux ϕ:A→B induit un morphisme de schémas Spec(ϕ):Spec(B)→Spec(A) . Les autres dénominations sont : spectre premier, schéma affine associé à A , prime spectrum. La question compacte : comment lire la géométrie d'un anneau dans l'ensemble de ses idéaux premiers ? Les contributeurs : Wolfgang Krull, Marshall Stone, Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné.

9. Proj d'un anneau gradué

Le Proj(S) d'une algèbre graduée S=⨁d≥0​Sd​ est le schéma dont l'espace sous-jacent est l'ensemble des idéaux premiers homogènes p de S qui ne contiennent pas l'idéal irrelevant S+​=⨁d≥1​Sd​ , muni de la topologie de Zariski et d'un faisceau structural construit via les localisations homogènes. Les ouverts de base sont D+​(f)={p∈Proj(S):f∈/p} pour f∈Sd​ homogène, et O(D+​(f))=S(f)​ (fraction de degré 0 dans le localisé Sf​ ). Le foncteur Proj est contravariant pour les morphismes d'algèbres graduées qui préservent les degrés et sont isomorphismes en grands degrés. Les fibrés en droites O(n)=S(n)​ sur Proj(S) sont fondamentaux : O(1) est le fibré tautologique ample (lorsque S est engendré en degré 1). Le lien avec les espaces projectifs classiques : PAn​=Proj(A[x0​,…,xn​]) . Les autres dénominations sont : spectre projectif, projective spectrum, Proj d'une algèbre graduée. La question compacte : comment construire des schémas projectifs à partir d'algèbres graduées ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford, Jean-Pierre Serre.

10. Schéma noethérien

Un schéma X est dit noethérien si son espace topologique sous-jacent est noethérien (toute suite décroissante de fermés est stationnaire) et si tout ouvert affine Spec(A)⊂X a A noethérien. De manière équivalente, X est noethérien si et seulement s'il est quasi-compact et localement noethérien. Les propriétés fondamentales des schémas noethériens : ils n'ont qu'un nombre fini de composantes irréductibles ; les faisceaux quasi-cohérents sont bien comportés (critère cohérentiel de Serre) ; la cohomologie des faisceaux cohérents est de type fini ; les schémas noethériens admettent une résolution par des ouverts affines finis. La plupart des schémas rencontrés en pratique sont noethériens : les schémas de type fini sur un corps ou sur Z sont noethériens. Les schémas non noethériens apparaissent naturellement en géométrie formelle et en géométrie perfectoïde. Le théorème de finitude de Grothendieck affirme que la cohomologie des faisceaux cohérents sur un schéma propre noethérien est cohérente. Les autres dénominations sont : schéma à anneaux locaux noethériens, noetherian scheme. La question compacte : quelle condition de finitude assure que les notions algébriques fondamentales se comportent bien ? Les contributeurs : Emmy Noether, Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Oscar Zariski.

11. Schéma intègre

Un schéma X est dit intègre s'il est à la fois réduit (le faisceau structural OX​ n'a pas de sections nilpotentes : OX​(U) est réduit pour tout ouvert U ) et irréductible (l'espace topologique sous-jacent est irréductible : il ne peut pas s'écrire comme réunion de deux fermés stricts). De manière équivalente, X est intègre si et seulement si pour tout ouvert non vide U⊂X , l'anneau OX​(U) est un domaine d'intégrité. Un schéma intègre admet un point générique η unique (l'idéal premier minimal de chaque anneau local), et le corps résiduel κ(η)=OX,η​ est le corps des fonctions rationnelles k(X) , invariant birationnel fondamental. Pour un schéma affine, Spec(A) est intègre si et seulement si A est un domaine d'intégrité. Les variétés algébriques (au sens classique) correspondent précisément aux schémas intègres de type fini sur un corps algébriquement clos. Les autres dénominations sont : schéma intègre, integral scheme, schéma réduit irréductible. La question compacte : quelle est la condition sur un schéma correspondant à l'irréductibilité et à l'absence de nilpotents ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, André Weil, Oscar Zariski.

12. Schéma réduit

Un schéma X est dit réduit si pour tout ouvert U⊂X , l'anneau OX​(U) est réduit (sans nilpotents non nuls : fn=0⇒f=0 ). De manière équivalente, tous les anneaux locaux OX,x​ sont réduits. Pour un schéma affine, Spec(A) est réduit si et seulement si A est réduit, c'est-à-dire nil(A)=⋂p∈Spec(A)​p=0 . La réduction est une notion fondamentale permettant de séparer les questions topologiques (structure de l'espace sous-jacent) des questions nilpotentes (épaississements infinitésimaux). Un schéma réduit n'est pas nécessairement irréductible : par exemple Spec(k[x,y]/(xy))=V(xy)⊂A2 est réduit (deux droites qui se coupent) mais réductible. La propriété d'être réduit est locale : X est réduit si et seulement si il admet un recouvrement par des ouverts affines réduits. La notion de schéma réduit capture exactement les schémas pouvant être compris comme des ensembles de points (sans structure infinitésimale). Les autres dénominations sont : schéma sans nilpotents, reduced scheme. La question compacte : quels sont les schémas dont les anneaux locaux sont sans nilpotents ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Emmy Noether, Oscar Zariski.

13. Schéma irréductible

Un schéma X est dit irréductible si son espace topologique sous-jacent est irréductible : X ne peut pas s'écrire comme réunion de deux fermés propres X=F1​∪F2​ avec F1​,F2​⊊X . De manière équivalente, tout ouvert non vide de X est dense. Pour un schéma affine Spec(A) , l'irréductibilité est équivalente à ce que le nilradical nil(A)=⋂p​p soit premier. Un schéma irréductible admet un unique point générique η (point dont l'adhérence est X tout entier), et η correspond au nilradical de chaque anneau local. Tout schéma noethérien se décompose de manière unique en un nombre fini de composantes irréductibles X=X1​∪⋯∪Xn​ (avec Xi​⊂Xj​ pour i=j ). La distinction entre irréductible et intègre est cruciale : un schéma peut être irréductible sans être réduit (par exemple Spec(k[x]/(x2)) est irréductible mais non réduit, car (x2) est primaire mais pas premier). Les autres dénominations sont : schéma à espace topologique irréductible, irreducible scheme. La question compacte : quand un schéma ne se décompose-t-il pas en parties disjointes ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Wolfgang Krull, Oscar Zariski.

14. Schéma connexe

Un schéma X est dit connexe si son espace topologique sous-jacent est connexe : il n'existe pas de partition X=U1​⊔U2​ en deux ouverts-fermés non vides. Pour un schéma affine Spec(A) , la connexité est équivalente à l'absence d'idempotents non triviaux dans A : A≅A1​×A2​ avec A1​,A2​ non nuls. Un schéma irréductible est toujours connexe (la réciproque est fausse : V(xy)⊂A2 est connexe mais réductible). Les composantes connexes d'un schéma noethérien sont des ouverts-fermés, en nombre fini. La connexité géométrique est plus forte : un k -schéma X est géométriquement connexe si X×k​kˉ est connexe. Pour les schémas en groupes, la composante connexe de l'identité G0 est fondamentale. La connexité joue un rôle dans les critères de décomposition : par le théorème de Stein, les fibres d'un morphisme propre à fibres connexes sont connexes. Les autres dénominations sont : schéma à espace connexe, connected scheme. La question compacte : quand un schéma forme-t-il un tout géométriquement indécomposable ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Emmy Noether.

15. Schéma régulier

Un schéma X est dit régulier en un point x∈X si l'anneau local OX,x​ est un anneau local régulier, c'est-à-dire si sa dimension de Krull est égale à la dimension minimale de son idéal maximal : dim(OX,x​)=dimk(x)​(mx​/mx2​) . Le schéma X est régulier s'il est régulier en tout point. Pour un schéma sur un corps parfait k , régularité et lissité coïncident, mais sur un corps imparfait elles diffèrent. Les anneaux locaux réguliers sont des domaines d'intégrité, intégralement clos, et ont une dimension homologique globale finie (théorème de Serre) : gl.dim(OX,x​)=dim(OX,x​) . Cette dernière propriété est fondamentale pour la théorie des intersections et les formules de Riemann-Roch. Les schémas réguliers sont stables par localisation mais pas par changement de base (contrairement aux schémas lisses). Le lieu régulier Xreg​ d'un schéma noethérien est un ouvert dense (si X est intègre). Les autres dénominations sont : schéma à anneaux locaux réguliers, regular scheme, variété régulière. La question compacte : quelle est la notion algébrique de non-singularité indépendante du corps de base ? Les contributeurs : Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck, Masayoshi Nagata, Hideyuki Matsumura.

16. Schéma normal

Un schéma X est dit normal en un point x si l'anneau local OX,x​ est un anneau intégralement clos dans son corps des fractions. Le schéma X est normal s'il est réduit et normal en tout point. Pour un schéma affine intègre Spec(A) , la normalité est équivalente à ce que A soit intégralement clos dans Frac(A) . Les propriétés fondamentales des schémas normaux : le critère de Serre R1​+S2​ (régulier en codimension 1 et de profondeur ≥2 en codimension ≥2 ) ; le théorème de Zariski-Nagata sur la normalité des clôtures intégrales ; le fait que les schémas réguliers sont normaux (mais la réciproque est fausse : Spec(k[t2,t3]) est non normal). Le morphisme de normalisation Xˉ→X est le morphisme canonique depuis la normalisation (clôture intégrale de X dans son corps des fonctions). Les schémas normaux satisfont le lemme d'Abhyankar : les extensions étales de schémas normaux se comportent bien. Les autres dénominations sont : schéma intégralement clos, normal scheme, schéma de Krull. La question compacte : quels schémas sont intégralement clos en chaque anneau local ? Les contributeurs : Oscar Zariski, Masayoshi Nagata, Alexander Grothendieck, Wolfgang Krull.

17. Schéma lisse

Un morphisme de schémas f:X→S est lisse en x∈X si localement autour de x , f est formellement lisse et de présentation finie : il existe un voisinage U de x et un S -morphisme étale U→ASn​ (ou encore, le faisceau des différentielles relatives ΩX/S​ est localement libre de rang n=dimx​(X/S) et le morphisme est formellement lisse). Un S -schéma X est lisse (sur S ) s'il est lisse en tout point. Pour S=Spec(k) avec k un corps, la lissité est équivalente à la régularité si k est parfait, mais pour un corps imparfait k , il peut exister des schémas réguliers non lisses. La lissité est stable par composition et changement de base. Le faisceau tangent TX/S​=Hom(ΩX/S​,OX​) est localement libre de rang n pour un morphisme lisse de dimension relative n . La lissité est la notion géométrique correcte de non-singularité relative, fondamentale pour définir les classes de Chern relatives, les catégories dérivées à dualité, et la théorie de Hodge relative. Les autres dénominations sont : morphisme lisse, smooth scheme, variété lisse. La question compacte : quelle est la notion relative de non-singularité entre schémas ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Pierre Deligne, Luc Illusie.

18. Schéma propre

Un morphisme de schémas f:X→S est propre s'il est séparé, de type fini, et universellement fermé (pour tout morphisme S′→S , le morphisme induit X×S​S′→S′ est fermé). Un S -schéma X est propre sur S si le morphisme structurel X→S est propre. La propreté est l'analogue schématique de la compacité : pour S=Spec(C) et X un schéma de type fini sur C , X est propre si et seulement si X(C) est compact pour la topologie analytique complexe. Les théorèmes fondamentaux pour les morphismes propres : le théorème de finitude (Grothendieck) : la cohomologie Rif∗​F d'un faisceau cohérent sur un morphisme propre de schémas noethériens est cohérente ; le théorème de Stein factorisation ; la formule de projection. Les schémas projectifs sont propres ; la réciproque est fausse en général (variétés abéliennes vs schémas projectifs). Le critère valuatif de propreté : f est propre si et seulement si f est de type fini, séparé, et pour tout anneau de valuation V avec corps des fractions K , tout S -morphisme Spec(K)→X s'étend de manière unique à Spec(V)→X . Les autres dénominations sont : morphisme propre, proper scheme, schéma compact. La question compacte : quelle est la notion schématique d'application continue entre espaces compacts ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford, Pierre Deligne.

19. Schéma séparé

Un morphisme de schémas f:X→S est séparé si le morphisme diagonal ΔX/S​:X→X×S​X est une immersion fermée. Un S -schéma X est séparé si le morphisme structurel est séparé. La séparation est l'analogue schématique de la condition de Hausdorff en topologie : pour les schémas sur C , la séparation correspond à ce que l'espace analytique associé soit séparé (de Hausdorff). La raison de cette définition : pour une variété topologique, l'espace est séparé si et seulement si la diagonale Δ⊂X×X est fermée. Pour un schéma affine Spec(A) , tout morphisme depuis un schéma affine est séparé, car Δ:Spec(A)→Spec(A⊗A) correspond au morphisme de multiplication A⊗A→A , qui est surjectif, donc la diagonale est une immersion fermée. Les schémas qui ne sont pas séparés existent mais sont pathologiques : la droite affine avec un point dédoublé est un exemple classique. Le critère valuatif de séparation est analogue à celui de la propreté mais sans l'exigence d'existence. Les autres dénominations sont : morphisme séparé, separated scheme, schéma de Hausdorff. La question compacte : quelle est la condition sur un schéma correspondant à la séparation de Hausdorff ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Jean-Pierre Serre.

20. Schéma de type fini

Un morphisme de schémas f:X→S est de type fini si f est quasi-compact et si pour tout ouvert affine V=Spec(B)⊂S , l'image réciproque f−1(V) peut être recouverte par un nombre fini d'ouverts affines Spec(Ai​) avec chaque Ai​ une B -algèbre de type fini (engendrée par un nombre fini d'éléments sur B ). Un S -schéma est de type fini si son morphisme structurel l'est. Pour S=Spec(k) , un schéma de type fini est un schéma dont chaque ouvert affine est spectre d'une k -algèbre de type fini, ce qui correspond exactement aux variétés algébriques sur k (avec éventuellement des nilpotents et plusieurs composantes). Pour S=Spec(Z) , un schéma de type fini sur Z est un schéma arithmétique de type fini. La condition de type fini est indispensable pour assurer des propriétés de finitude cohomologique, la représentabilité des foncteurs de Hilbert et Quot, et les théorèmes de finitude de la cohomologie. Les autres dénominations sont : morphisme de type fini, scheme of finite type, k -schéma de type fini. La question compacte : quelle condition de finitude sur un schéma correspond aux variétés algébriques classiques ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Masayoshi Nagata.

21. Schéma localement noethérien

Un schéma X est localement noethérien si tout point x∈X admet un voisinage ouvert affine Spec(A) avec A un anneau noethérien. La condition noethérienne est une condition globale de quasi-compacité en plus ; un schéma noethérien est localement noethérien et quasi-compact. Les schémas localement noethériens partagent les propriétés locales des schémas noethériens : les anneaux locaux sont noethériens, la théorie des faisceaux cohérents s'applique, les morphismes plats ont des fibres plates, et la théorie de la profondeur et de la dimension fonctionnent. La différence avec les schémas noethériens est qu'un schéma localement noethérien peut avoir une infinité de composantes : par exemple, une réunion infinie disjointe de schémas noethériens est localement noethérienne mais non noethérienne. Les schémas de type fini sur un anneau noethérien sont noethériens. Dans la pratique, la condition localement noethérien suffit pour la plupart des théorèmes locaux (critères de platitude, critères de lissité, etc.), tandis que la condition noethérienne est nécessaire pour les théorèmes globaux (finitude de la cohomologie). Les autres dénominations sont : locally noetherian scheme, schéma à anneaux locaux noethériens. La question compacte : quelle est la version locale de la condition noethérienne pour les schémas ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Emmy Noether, Jean Dieudonné.

22. Schéma excellent

Un schéma X est excellent s'il satisfait un ensemble de conditions de régularité technique assurant que les singularités se comportent bien : (1) X est localement noethérien ; (2) pour tout ouvert affine Spec(A)⊂X , l'anneau A est excellent (anneau de Grothendieck) : A est universellement caténaire, les fibres formelles des localisations sont géométriquement régulières, et A est quasi-excellent (les lieux de régularité et de lissité coïncident après changement de base fini). Les exemples fondamentaux d'anneaux excellents : Z , tout corps, toute algèbre de type fini sur Z ou un corps, les anneaux de séries formelles sur un corps, les anneaux de valuation discrète complets. Les schémas excellents ont des normalisations finies (le morphisme de normalisation est fini), un lieu singulier fermé, et sont stables par des opérations géométriques importantes. La condition d'excellence est indispensable pour la résolution des singularités (Hironaka dans le cas des corps de caractéristique 0), pour la théorie des traces, et pour la théorie de la dualité de Grothendieck. Les autres dénominations sont : schéma de Grothendieck, excellent scheme, anneau excellent. La question compacte : quelle condition technique sur un schéma assure que la géométrie des singularités se comporte correctement ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Masayoshi Nagata, Michel Raynaud, Laurent Gruson.

23. Schéma hensélien

Un anneau local (A,m) est hensélien si le lemme de Hensel est satisfait : pour tout polynôme unitaire f∈A[x] et toute factorisation fˉ​=gˉ​0​⋅hˉ0​ dans A/m[x] avec gˉ​0​,hˉ0​ unitaires et gcd(gˉ​0​,hˉ0​)=1 , il existe un relèvement f=g⋅h dans A[x] avec g,h unitaires, g≡gˉ​0​(modm) et h≡hˉ0​(modm) . Un schéma X est hensélien en x si OX,x​ est hensélien. Les anneaux henséliens forment une catégorie naturelle entre les anneaux locaux et leurs complétés : un anneau local complet est hensélien, et l'hensélisé Ah d'un anneau local est la plus petite extension hensélienne. Les anneaux locaux henséliens sont fondamentaux en géométrie étale : ils jouent le rôle des voisinages contractiles en topologie. Le topos étale d'un schéma hensélien est particulièrement simple : les revêtements étales d'un spectre local hensélien sont triviaux (splits complètement). Les schémas henséliens apparaissent naturellement : les corps locaux ( Qp​ , Fq​((t)) ), les anneaux de valuation discrète complets, et les schémas formels. Les autres dénominations sont : anneau hensélien, schéma hensélien, henselian local ring. La question compacte : quelle est la condition sur un anneau local assurant le relèvement des factorisations modulo l'idéal maximal ? Les contributeurs : Kurt Hensel, Alexander Grothendieck, Michel Raynaud, Luc Illusie.

24. Schéma formel

Un schéma formel est une généralisation d'un schéma obtenue en complétant un schéma le long d'un sous-schéma fermé. Formellement, si X est un schéma noethérien et Z⊂X un sous-schéma fermé défini par un faisceau d'idéaux I , le complété formel X^ de X le long de Z est l'espace annelé (|Z|,lim​n​OX​/In) . Un schéma formel sur un anneau A complété I -adiquement (avec I=(p) par exemple) est un espace annelé localement isomorphe à Spf(B) où B est une A -algèbre complète pour la topologie I -adique. Les schémas formels sont fondamentaux en géométrie p -adique (espaces rigides de Tate, espaces adiques de Huber) et dans les démonstrations des théorèmes de type GAGA formels. Le théorème de comparaison de Grothendieck (GAGA formel) relie la cohomologie d'un faisceau cohérent sur X à celle sur X^ . La géométrie non-archimédienne (Raynaud) utilise les schémas formels comme modèles entiers d'espaces analytiques p -adiques. Les autres dénominations sont : schéma formel de Grothendieck, Spf(A) , formal scheme, complété formel. La question compacte : comment compléter un schéma le long d'un fermé pour obtenir un objet géométrique ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Michel Raynaud, Pierre Berthelot, Vladimir Berkovich, Roland Huber.

25. Espace algébrique

Un espace algébrique est une généralisation d'un schéma introduite par Michael Artin (1969-1970), permettant de représenter des foncteurs de modules qui ne sont pas représentables par des schémas. Formellement, un espace algébrique X sur un schéma de base S est un foncteur X:(Sch/S)op→Ens satisfaisant : (1) X est un faisceau pour la topologie étale ; (2) la diagonale Δ:X→X×S​X est représentable (par des schémas) ; (3) il existe un schéma U et un morphisme étale surjectif U→X (atlas étale). Un schéma est un espace algébrique (avec atlas étale donné par l'identité sur les ouverts affines). Les espaces algébriques sont plus généraux que les schémas : l'espace de modules des courbes lisses Mg​ (sans sa structure de champ) est un espace algébrique mais pas un schéma pour g≥2 (car il y a des courbes ayant des automorphismes non triviaux). Les espaces algébriques ont une bonne théorie cohomologique (topologie étale), des morphismes propres avec fibrés dualisant, et permettent la construction de quotients par des relations d'équivalence étales. Les autres dénominations sont : algebraic space, espace de Artin, espace de modules grossier. La question compacte : quelle est la généralisation minimale des schémas permettant de représenter des quotients étales ? Les contributeurs : Michael Artin, David Mumford, Donald Knutson, Johan de Jong.

28. Sous-schéma fermé

29. Sous-schéma ouvert

30. Schéma réduit associé

31. Morphisme de schémas

105. Schéma de Picard

189. Schéma de Hilbert

190. Schéma de Quot

246. Schéma arithmétique

276. Schéma en groupes

277. Schéma en groupes affine

278. Schéma en groupes l2isse

279. Schéma en groupes réductif

341. Schéma dérivé

405. Géométrie log

406. Schéma logarithmique

407. Géométrie non commutative

408. Schéma non commutatif

441. Schéma localement de type fini

442. Schéma universellement japonais

443. Schéma géométriquement connexe

444. Schéma géométriquement irréductible

445. Schéma géométriquement réduit

446. Fibre générique

447. Fibre spéciale

448. Point générique

448. Point fermé

450. Spécialisation

451. Composante irréductible

452. Dimension d'un schéma

453. Codimension

454. Profondeur d'un schéma

455. Lieu singulier

456. Lieu lisse

457. Lieu de ramification

458. Différente

459. Conducteur

460. Discriminant

461. Schéma réduit sous-jacent

462. Nilradical

463. Lieu non-réduit

464. Composante immergée

465. Décomposition primaire

466. Idéal premier associé

467. Schéma intersection

468. Produit fibré

469. Changement de base

470. Descente fidèlement plate