MATHEMATIQUES / FONDEMENTS DE LA GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE CLASSIQUE

[AVERTISSEMENT TEMPORAIRE]
Chèr·e·s abonné·e·s

Veuillez nous excuser pour la publication qui suit de 2000 articles de mathématiques et 40 articles sur le métabolisme humain. C'est notre réponse à la transcendance (apparue en 1230-1232 et battue en brèche en 1966, voir le livre d'Antoine Compagnon, 1966 année mirifique), transcendance dans laquelle s'emprisonne la subjectivté (Marc Richir, Patrice Loraux, même Blanchot y revient en 1980 dans L'écriture du désastre, que poursuivra Alain Badiou dans D'un déastre obscur, pour parler de la désorientation nihiliste contemporaine).

Nos articles de philosophie seront publiés en parallèle car déjà programmés jusqu'à la fin juin ainsi que quelques atocmes sur Patrice Loraux (en lien avec Michèle Choen Halimi), sur Lévinas (mais une hétérarchie ou hétéronomie hétérogène en lien avec Gramsci et la question de l'adhésion et l'insertion des classe subalerne donc non prolétaires à l'hégémon), peut-être sur les problèmes propres à Wittgenstein, mais encore sur la pensée dite mystique juive bien que ce soit une gnose collective non-totalitaire, en dialogue avec Reb Mendel Belinow (Remenbe), Rav Yeshaya Dalsace (Rayeda) et Stéphane Zagdanski. On vous prie de nous excuser pour le dérangement occasionné dans votre boîte mail le cas échéant.

Toutes les philosophie du dépassement sont encore dans la transcendance (Hegel, SChopenhauer, Nietzsche). Ce dernier parle encore de l'Artisan cosmique dans son Ainsi Parlait Zarathoustra.

Chérons abonné·e·s, passez donc en mode inscription newsletter et non avertissement de la publication de chaque article. Nous serios déçu de vous perdre surtout que vous êtes notre seule motivation : voir que les gens s'intéresse un peu à ce qu'on publie ici.

Nous allons épinglé les articles les plus pertinents déjà publiés en première pages.

La bienveillance et la gentillesse ne sont pas le respect car tôt ou tard il s'accompagne de violence. Dé même la sérénire est ce qui transforme les brisures en capacités et qui permet d'intégrer les échecs au parcours, dès lors les échecs ne sont plus des failures mais des erreurs, des inattentions. Qui n'a pa été étourdi. Tel est le niveau étale de la vie.

Respect à vous

quel est le lieu géométrique des solutions d'un système polynomial ?

Une variété algébrique affine est l'ensemble des zéros communs d'une famille de polynômes à plusieurs variables dans un espace affine ${\mathbb{A}}^k$ sur un corps $k$ . Plus précisément, si l'on considère un idéal $I$ de l'anneau de polynômes $k[x^1,\dots ,x^n]$ , la variété associée $V(I)$ est le lieu des points $(a^1,\dots ,a^n)$ tels que $f(a^1,\dots ,a^n)=0$ pour tout $f\in I$ . Cette notion constitue le point de départ historique de la discipline et incarne la correspondance fondamentale entre algèbre et géométrie : à un objet algébrique (un idéal, ou plus précisément un idéal radical) correspond un objet géométrique (un lieu de zéros).

Le problème central que soulève cette définition concerne la nature précise de cette correspondance : comment passer rigoureusement d'un système d'équations à un objet géométrique manipulable, et surtout, comment tenir compte des points qui ne sont pas rationnels sur le corps de base ? La théorie classique se limitait aux points à coordonnées dans un corps algébriquement clos, ce qui occulte des phénomènes arithmétiques essentiels.

Les autres dénominations rencontrées sont : ensemble algébrique affine, sous-variété fermée de l'espace affine, variété de Zariski affine.

Les chercheurs ayant contribué à cette notion sont notamment Bernhard Riemann, Max Noether, David Hilbert, Emmy Noether, Bartel Leendert van der Waerden, Oscar Zariski, André Weil, Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck.

comment compact(ifi)er naturellement une variété algébrique de manière à intégrer ses points à l'infini ?

La variété algébrique projective généralise la variété affine en travaillant dans l'espace projectif ${\mathbb{P}}^k$ , défini comme l'ensemble des droites vectorielles dans $k^{n+1}$ , ou de façon équivalente comme le quotient $(k^{n+1}\setminus \{0\})/k^{\ast }$ où $k^{\ast }$ agit par multiplication scalaire. Une variété projective est le lieu d'annulation d'une famille de polynômes homogènes. L'intérêt de la projectivité est multiple : elle apporte la compacité (au sens de Zariski et au sens analytique lorsque $k=\mathbb{C}$ ), ce qui permet d'appliquer des théorèmes de finitude puissants, et elle rend symétriques les rôles joués par les points à l'infini et les points finis.

Le problème soulevé est celui de la complétion canonique d'une variété affine : l'inclusion d'une variété affine dans une variété projective n'est pas unique, et le choix d'une compactification influence profondément les invariants calculés.

Les autres formulations incluent : variété fermée de l'espace projectif, variété propre projective, schéma projectif.

Les contributeurs majeurs sont Jean-Victor Poncelet, Arthur Cayley, Felix Klein, Francesco Severi, Federigo Enriques, Guido Castelnuovo, Oscar Zariski, André Weil, Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck, Robin Hartshorne.

quelle est la classe naturelle de variétés stable par les opérations géométriques courantes ?

Une variété quasi-projective est un ouvert de Zariski d'une variété projective, ou de façon équivalente l'intersection d'un ouvert et d'un fermé dans un espace projectif. Cette catégorie englobe à la fois les variétés affines (qui sont quasi-projectives car l'espace affine est un ouvert de l'espace projectif) et les variétés projectives, ainsi que de nombreux espaces de modules naturels qui ne sont ni l'un ni l'autre. La notion permet une flexibilité essentielle dans la pratique : on peut localiser, recoller, retirer des fermés, sans quitter le cadre.

Le problème sous-jacent est celui de la classification des variétés algébriques : la catégorie des variétés quasi-projectives est suffisamment riche pour la pratique courante, sans atteindre la généralité maximale des schémas.

Les chercheurs principaux : Jean-Pierre Serre (notamment dans son article fondateur «Faisceaux algébriques cohérents»), Alexander Grothendieck, Igor Shafarevich, David Mumford.

quelle topologie naturelle porter sur l'ensemble des solutions d'un système polynomial pour traduire ses propriétés algébriques ?

La topologie de Zariski sur une variété algébrique (ou sur un schéma) est la topologie dont les fermés sont les sous-ensembles algébriques, c'est-à-dire les lieux d'annulation de familles de polynômes (ou de sections de faisceaux structurels). Elle se caractérise par des propriétés très particulières : les ouverts non vides d'une variété irréductible sont denses, la topologie est rarement séparée au sens de Hausdorff, et les espaces topologiques obtenus sont presque toujours noethériens (toute chaîne descendante de fermés stationne).

Le problème majeur que pose cette topologie est sa pauvreté apparente : elle possède peu d'ouverts, ce qui rend impossible le calcul direct de nombreux invariants cohomologiques. Cette pauvreté a motivé l'introduction de topologies plus fines comme la topologie étale, fppf, fpqc, Nisnevich.

Les autres dénominations : topologie cofinie polynomiale, topologie spectrale (sur Spec).

Les inventeurs et principaux contributeurs : Oscar Zariski (qui introduisit la notion de topologie de Zariski abstraite dans les années 1940), André Weil, Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck.

L'anneau de coordonnées (ou anneau des fonctions régulières) d'une variété affine $V(I)\subset {\mathbb{A}}^k$ est l'anneau quotient $k[x^1,\dots ,x^n]/I(V)$ où $I(V)$ est l'idéal des polynômes qui s'annulent sur $V$ . Cet anneau, noté souvent $k[V]$ ou $\mathcal{O}(V)$ , capture toute l'information algébrique de la variété : la correspondance entre variétés affines réduites sur un corps algébriquement clos et $k$ -algèbres réduites de type fini est une équivalence de catégories contravariante. Le problème central soulevé concerne précisément ce dictionnaire : quelles propriétés géométriques (lissité, irréductibilité, dimension) se traduisent par quelles propriétés algébriques de l'anneau (régularité, intégrité, dimension de Krull) ? La question compacte : comment décoder géométriquement la structure d'une algèbre commutative de type fini ? Les contributeurs : Richard Dedekind, David Hilbert, Emmy Noether, Wolfgang Krull, Oscar Zariski, Pierre Samuel, Alexander Grothendieck.

quelle est la traduction algébrique précise d'un lieu géométrique ?

Variété est l'autre nom des multiplicités (manifold) en philosophie.

L'idéal d'une variété $V\subset {\mathbb{A}}^k$ est l'ensemble $I(V)$ des polynômes qui s'annulent identiquement sur $V$ . Cet idéal est toujours radical, ce qui signifie que si une puissance d'un polynôme est dans $I(V)$ , alors le polynôme lui-même y est. Cette propriété est au cœur du théorème des zéros de Hilbert, qui établit une bijection entre les variétés affines sur un corps algébriquement clos et les idéaux radicaux de l'anneau de polynômes.

Le problème soulevé concerne la non-radicalité dans le cas général : que se passe-t-il pour les idéaux non radicaux ? La réponse contemporaine, schématique, est qu'ils correspondent à des structures non réduites, encodant des phénomènes infinitésimaux essentiels (multiplicités, voisinages formels).

La question compacte :

Les contributeurs : David Hilbert (théorème des zéros), Emmy Noether (théorie des idéaux dans les anneaux noethériens), Wolfgang Krull, Emanuel Lasker, Francis Macaulay.

un système polynomial sans solution force-t-il une combinaison algébrique évidente d'incohérence ?

Le Nullstellensatz, énoncé par David Hilbert en 1893, établit la correspondance fondamentale entre algèbre et géométrie sur un corps algébriquement clos. Sa forme faible affirme que tout idéal propre de $k[x^1,\dots ,x^n]$ (avec $k$ algébriquement clos) a un zéro commun dans ${\mathbb{A}}^k$ . Sa forme forte précise que pour tout idéal $I$ , on a 

 $\sqrt{}I(V(I))=\sqrt{I}$

, le radical de $I$ . Une conséquence essentielle est que les idéaux maximaux de $k[x^1,\dots ,x^n]$ correspondent exactement aux points de ${\mathbb{A}}^k$ .

Le problème central : sur un corps non algébriquement clos, cette correspondance se brise et il faut introduire les points fermés à corps résiduel quelconque, ce qui mène naturellement à la théorie des schémas.

Les autres dénominations : théorème des zéros de Hilbert, théorème de Hilbert sur les zéros, théorème du Stellensatz, principe de correspondance algèbre-géométrie.

Les contributeurs : David Hilbert (1893), Emmy Noether, Oscar Zariski, Wolfgang Krull, Solomon Lefschetz, Jean-Pierre Serre.

quelle est la géométrie d'un anneau commutatif arbitraire ?

Un schéma affine est l'objet géométrique associé à un anneau commutatif unitaire $A$ quelconque, noté $\text{Spec}(A)$ . Son espace topologique sous-jacent est l'ensemble des idéaux premiers de $A$ , muni de la topologie de Zariski dont les fermés sont les $V(I)=\{\mathfrak{p}\supset I\}$ . Il est muni d'un faisceau structural ${\mathcal{O}}^{\text{Spec}(A)}$ dont les sections sur les ouverts standards $D(f)=\{\mathfrak{p}:f\notin \mathfrak{p}\}$ sont les localisations $A^f$ . Cette construction, due à Grothendieck, généralise radicalement la notion de variété affine : on accepte des anneaux non noethériens, non réduits, non intègres, contenant la torsion, voire des anneaux à caractéristique mixte.

Le problème majeur est conceptuel : que signifie un «point» dans $\text{Spec}(\mathbb{Z})$ ou $\text{Spec}(k[x]/(x^2))$ ? La réponse géométrique passe par l'interprétation fonctorielle.

Les contributeurs : Alexander Grothendieck (création de la notion vers 1957-1960), Jean-Pierre Serre, Pierre Cartier, Michel Demazure, Jean Dieudonné, Michael Artin.

quel espace topologique annelé encode fidèlement un anneau commutatif ?

Le spectre $\text{Spec}(A)$ d'un anneau commutatif $A$ est l'ensemble de ses idéaux premiers, muni d'une structure d'espace topologique annelé. Il se distingue du spectre maximal $\text{Specm}(A)$ (ensemble des idéaux maximaux) par l'inclusion de tous les idéaux premiers, ce qui ajoute notamment les «points génériques» correspondant à des sous-variétés irréductibles. Ainsi $\text{Spec}(\mathbb{Z})$ contient un point pour chaque nombre premier $p$ (correspondant à $p\mathbb{Z}$ ) ainsi qu'un point générique correspondant à l'idéal nul.

Le problème central que soulève cette notion est celui de l'interprétation des points non fermés : ils représentent des sous-schémas irréductibles entiers, ce qui inverse l'intuition usuelle.

Les autres formulations : spectre premier, spectre de Zariski, schéma spectral.

Les contributeurs : Marshall Stone (pour les anneaux booléens), Alexander Grothendieck, Pierre Cartier, Jean Dieudonné, Michel Demazure.

quel faisceau d'anneaux fait d'un espace topologique le support d'une géométrie ?

Le faisceau structural ${\mathcal{O}}^X$ d'un schéma $X$ est le faisceau d'anneaux qui définit la structure géométrique du schéma : pour chaque ouvert $U\subset X$ , l'anneau ${\mathcal{O}}^X(U)$ est l'anneau des «fonctions régulières» sur $U$ . Sur un schéma affine $\text{Spec}(A)$ , on a ${\mathcal{O}}^X(D(f))=A^f$ et la tige en un point $\mathfrak{p}$ est le localisé $A^{\mathfrak{p}}$ . Cette donnée transforme l'espace topologique en un espace localement annelé, et c'est précisément ce raffinement qui distingue un schéma d'un simple espace topologique. Le problème conceptuel est la définition même de «fonction» : sur un schéma non réduit, une fonction peut être non nulle alors qu'elle s'annule en tout point ; sur $\text{Spec}(k[\epsilon ]/{\epsilon }^2)$ , la fonction $\epsilon$ est nilpotente non nulle.

Les autres dénominations : faisceau d'anneaux locaux, faisceau des fonctions régulières, $\mathcal{O}$ -module structural.

Les contributeurs : Jean Leray (faisceaux), Henri Cartan (séminaires), Jean-Pierre Serre (FAC), Alexander Grothendieck, Roger Godement.

quel est le cadre géométrique universel pour l'algèbre commutative ?

Un schéma est un espace topologique annelé $(X,{\mathcal{O}}^X)$ qui est localement isomorphe à un schéma affine $\text{Spec}(A)$ . Cette définition, donnée par Grothendieck dans les EGA (Éléments de Géométrie Algébrique), constitue le langage universel de la géométrie algébrique moderne. Un schéma peut être étudié soit par son espace topologique muni de son faisceau structural, soit par son foncteur de points $h^X(T)=\text{Hom}(T,X)$ , qui à tout schéma $T$ associe l'ensemble des $T$ -points de $X$ . Le problème central est celui de la généralité optimale : faut-il considérer tous les schémas, ou se restreindre à certaines classes (noethériens, de type fini, séparés, propres) ? Chaque choix offre un compromis entre généralité et maniabilité.

Les autres dénominations : schéma de Grothendieck, schéma au sens d'EGA, $\mathbb{Z}$ -schéma. 

Les contributeurs : Alexander Grothendieck (créateur du concept), Jean Dieudonné (co-rédacteur des EGA), Jean-Pierre Serre, Michael Artin, Pierre Deligne, Luc Illusie, David Mumford.

quelle est la bonne notion d'application entre les espaces géométriques généralisés ?

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est une application continue entre espaces topologiques accompagnée d'un morphisme de faisceaux $f^{♯}:{\mathcal{O}}^Y\to f^{\ast }{\mathcal{O}}^X$ tel que pour tout point $x\in X$ , le morphisme induit sur les tiges ${\mathcal{O}}^{Y,f(x)}\to {\mathcal{O}}^{X,x}$ envoie l'idéal maximal dans l'idéal maximal (morphisme local d'anneaux locaux). De manière équivalente, par adjonction, un morphisme entre schémas affines $\text{Spec}(A)\to \text{Spec}(B)$ correspond bijectivement à un morphisme d'anneaux $B\to A$ .

Le problème central est la dualité algèbre-géométrie : un morphisme géométrique d'objets correspond à un morphisme algébrique en sens opposé entre leurs anneaux de fonctions.

Les autres dénominations : morphisme entre espaces localement annelés, application régulière, $\mathbb{Z}$ -morphisme. 

Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Pierre Cartier, Michel Demazure.

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est de type fini s'il existe un recouvrement de $Y$ par des ouverts affines $\text{Spec}(B^i)$ tels que chaque préimage $f^{-1}(\text{Spec}(B^i))$ admette un recouvrement fini par des ouverts affines $\text{Spec}(A^{ij})$ où chaque $A^{ij}$ est une $B^i$ -algèbre de type fini. Cette condition, omniprésente dans la pratique, garantit que les schémas considérés se comportent localement comme des variétés algébriques classiques. Elle exclut les anneaux pathologiquement gros (comme les complétés ou les corps de séries formelles vu sur un corps de base très petit). Le problème soulevé est celui des hypothèses de finitude : la géométrie algébrique noethérienne et de type fini est riche en théorèmes (finitude cohomologique, dévissage), alors que la géométrie non-noethérienne nécessite des techniques plus subtiles. La question compacte : quel critère algébrique garantit qu'un morphisme est «géométriquement raisonnable» ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Pierre Cartier.

Un morphisme $f:X\to Y$ est propre s'il est séparé, de type fini et universellement fermé, c'est-à-dire que pour tout changement de base $Y^{\prime }\to Y$ , le morphisme induit $X{\times }^Y{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$ envoie les fermés sur des fermés. Cette notion généralise la propreté topologique classique (image réciproque de compact = compact) au cadre algébrique, où l'absence de séparation hausdorffienne empêche de définir directement la compacité. Les morphismes propres jouissent de propriétés exceptionnelles : leur cohomologie est de type fini (théorème de finitude de Grothendieck), ils admettent une dualité (Grothendieck-Verdier), ils préservent les faisceaux constructibles. Le problème : caractériser intrinsèquement la propreté est délicat ; on dispose du critère valuatif, qui ramène la question à des extensions de morphismes définis sur le spectre d'un anneau de valuation discrète. Les autres dénominations : morphisme universellement fermé séparé de type fini, morphisme «compact relatif», morphisme complet. La question compacte : quelle est la version algébrique de la compacité relative ? Les contributeurs : Claude Chevalley (notion de variété complète), Alexander Grothendieck (formalisation schématique), Michel Raynaud, Pierre Deligne.

Un morphisme $f:X\to Y$ est séparé si le morphisme diagonal ${\Delta }^{X/Y}:X\to X{\times }^{Y}X$ est une immersion fermée. Cette condition est l'analogue algébrique de la séparation hausdorffienne : elle garantit qu'un point de $X{\times }^{Y}X$ qui est limite d'une suite de points diagonaux est lui-même diagonal. Tous les schémas affines sont séparés, ainsi que tous les schémas projectifs, sinon que la droite affine avec un point double n'est pas séparée. Le problème : la non-séparation crée des phénomènes pathologiques (les limites de sections peuvent ne pas être uniques), et la plupart des théorèmes structurels supposent la séparation. La question compacte : comment formaliser algébriquement le fait qu'un espace n'a pas de «branchements infinitésimaux» ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, David Mumford.

Une immersion ouverte est un isomorphisme d'un schéma $X$ avec un ouvert d'un schéma $Y$ , plus précisément un morphisme $f:X\to Y$ qui est un homéomorphisme sur son image (un ouvert) et tel que $f^{♯}$ soit un isomorphisme. Une immersion fermée est un homéomorphisme sur un fermé de $Y$ tel que $f^{♯}:{\mathcal{O}}^Y\to f^{\ast }{\mathcal{O}}^X$ soit surjectif. Une immersion régulière (ou immersion fermée régulière) est une immersion fermée dont l'idéal est localement engendré par une suite régulière. Le problème central : les immersions fermées non régulières correspondent à des sous-schémas qui ne sont pas «correctement» plongés, et de nombreux théorèmes (formule d'adjonction, calculs d'intersection) requièrent la régularité. Les autres dénominations : plongement, plongement régulier, complete intersection locale. La question compacte : quand un sous-schéma est-il géométriquement régulier dans son ambiant ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Luc Illusie (complexe cotangent), William Fulton, Robert MacPherson.

Un morphisme $f:X\to Y$ est étale s'il est plat, non ramifié et localement de présentation finie. De manière équivalente, c'est l'analogue algébrique d'un revêtement local-isomorphisme : sur $\mathbb{C}$ , les morphismes étales correspondent aux applications qui sont localement, pour la topologie analytique, des homéomorphismes locaux entre variétés complexes. La caractérisation infinitésimale : un morphisme localement de présentation finie est étale si et seulement si pour tout schéma affine $T$ et tout sous-schéma fermé $T^0\subset T$ défini par un idéal nilpotent, tout morphisme $T^0\to X$ se relève uniquement en un morphisme $T\to X$ compatible avec $Y$ . Le problème : la topologie de Zariski ne distingue pas assez les morphismes étales pour permettre une bonne théorie cohomologique, ce qui a motivé l'introduction de la topologie étale. Les autres dénominations : revêtement étale, morphisme localement isomorphe au sens infinitésimal. La question compacte : quel est l'analogue algébrique d'un homéomorphisme local lisse ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Michael Artin, Jean-Louis Verdier, Pierre Deligne, Luc Illusie.

Un morphisme $f:X\to Y$ est lisse de dimension relative $n$ s'il est plat, localement de présentation finie, et si pour tout point $x\in X$ , le module des différentielles relatives ${\Omega }^{X/Y,x}$ est libre de rang $n$ sur ${\mathcal{O}}^{X,x}$ . De manière équivalente, c'est un morphisme qui ressemble localement (au sens étale) à une projection ${\mathbb{A}}^Y\to Y$ . Sur un corps de caractéristique zéro, lisse équivaut à régulier ; en caractéristique $p$ , des phénomènes nouveaux apparaissent (régularité géométrique vs régularité absolue). Le problème : la lissité est l'analogue algébrique de la différentiabilité, et c'est sur les schémas lisses que la plupart des constructions différentielles (Kähler, formes différentielles, cohomologie de de Rham) fonctionnent sans pathologie. Les autres dénominations : morphisme régulier relatif, morphisme submersif au sens algébrique, schéma lisse sur la base. La question compacte : quelle est la notion algébrique de variété différentiable relative ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Michael Artin, Luc Illusie, Pierre Berthelot, Daniel Quillen.

Un morphisme $f:X\to Y$ est plat si pour tout point $x\in X$ , le module ${\mathcal{O}}^{X,x}$ est plat sur ${\mathcal{O}}^{Y,f(x)}$ (la platitude d'un module $M$ sur un anneau $A$ signifiant que le produit tensoriel par $M$ préserve les suites exactes). Cette condition technique recouvre une intuition géométrique profonde : un morphisme plat est une famille «continue» au sens où les fibres varient sans saut brutal. Les morphismes plats sont caractérisés par le fait que les fonctions de Hilbert sont constantes dans les familles, et que de nombreux invariants (dimension des fibres pour les morphismes propres entre schémas noethériens intègres) restent constants. Le problème central : la platitude est difficile à vérifier directement, et la plupart des constructions naturelles ne sont pas plates a priori, ce qui motive l'introduction d'aplatissements (théorème de platification de Raynaud-Gruson). La question compacte : quand une famille de schémas varie-t-elle continûment ? Les contributeurs : Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck, Michel Raynaud, Laurent Gruson, David Mumford.

Un morphisme $f:X\to Y$ est fini s'il est affine et si pour tout ouvert affine $\text{Spec}(B)\subset Y$ , l'image réciproque $f^{-1}(\text{Spec}(B))=\text{Spec}(A)$ est telle que $A$ soit une $B$ -algèbre finie (c'est-à-dire un $B$ -module de type fini). Les morphismes finis sont propres et quasi-finis, et inversement, par le théorème principal de Zariski, tout morphisme propre quasi-fini est fini. Géométriquement, un morphisme fini est un «revêtement ramifié» : il a des fibres finies, mais ces fibres peuvent contenir des points avec multiplicité ou ramification. Le problème : distinguer les morphismes finis étales (revêtements non ramifiés) des morphismes finis avec ramification, et étudier le diviseur de ramification. Les autres dénominations : morphisme entier de présentation finie, revêtement algébrique fini. La question compacte : quelle est la version algébrique d'un revêtement à fibres finies ? Les contributeurs : Oscar Zariski (théorème principal), Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Michel Raynaud.

Un morphisme $f:X\to Y$ est quasi-fini en un point $x\in X$ s'il est localement de type fini en $x$ et si la fibre $f^{-1}(f(x))$ est finie en tant qu'ensemble, ou de manière équivalente si ${\mathcal{O}}^{X,x}/{\mathfrak{m}}^{f(x)}{\mathcal{O}}^{X,x}$ est une algèbre finie sur le corps résiduel $k(f(x))$ . Le morphisme est quasi-fini s'il l'est en tout point. La distinction avec la finitude est subtile et essentielle : un morphisme quasi-fini a des fibres ensemblistement finies, sinon que les anneaux locaux des fibres peuvent ne pas former un module fini global. Le théorème principal de Zariski, dans sa formulation moderne due à Grothendieck, affirme qu'un morphisme quasi-fini séparé se factorise en une immersion ouverte suivie d'un morphisme fini. Le problème central : comprendre l'écart entre fini et quasi-fini, qui correspond géométriquement à l'écart entre revêtement propre et revêtement avec «points manquants à l'infini». Les autres dénominations : morphisme à fibres finies, morphisme localement quasi-fini. La question compacte : un morphisme à fibres ensemblistement finies est-il automatiquement fini ? Les contributeurs : Oscar Zariski, Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Michel Raynaud, Laurent Gruson.

Un morphisme $f:X\to Y$ est non ramifié en $x$ s'il est localement de type fini et si le faisceau des différentielles relatives ${\Omega }^{X/Y}$ s'annule en $x$ , ou de manière équivalente si ${\mathfrak{m}}^{f(x)}{\mathcal{O}}^{X,x}={\mathfrak{m}}^x$ et si l'extension résiduelle $k(f(x))\to k(x)$ est séparable finie. Cette condition formalise algébriquement l'idée d'absence de ramification : aucun «épaississement infinitésimal» ne se produit dans la fibre. Un morphisme étale est précisément un morphisme plat et non ramifié de présentation finie. Le problème : en caractéristique positive, l'existence de morphismes non ramifiés mais inséparables (comme le Frobenius relatif) brise l'intuition classique de la non-ramification. Les autres dénominations : morphisme non ramifié au sens d'EGA, morphisme formellement non ramifié de présentation finie, morphisme net. La question compacte : quelle est la condition algébrique exacte d'absence de ramification ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Michael Artin, Jean-Pierre Serre, Michel Raynaud.

La dimension de Krull d'un anneau commutatif $A$ est le supremum des longueurs $n$ des chaînes strictes d'idéaux premiers ${\mathfrak{p}}^0⊊{\mathfrak{p}}^1⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}^n$ . La dimension d'un schéma est la dimension de Krull de son espace topologique, c'est-à-dire le supremum des longueurs des chaînes strictes de fermés irréductibles. Pour un corps, la dimension est zéro ; pour $\mathbb{Z}$ ou $k[x]$ , elle est un ; pour $k[x^1,\dots ,x^n]$ , elle est $n$ . Le théorème principal sur la dimension affirme que la dimension d'une variété algébrique intègre sur un corps est égale au degré de transcendance de son corps des fonctions. Le problème : la dimension de Krull peut différer d'autres notions de dimension (dimension topologique, dimension homologique, dimension cohomologique), et ces différences sont la source de subtilités importantes. Les autres dénominations : dimension de Zariski, dimension combinatoire, dimension spectrale. La question compacte : quelle est la mesure intrinsèque de la «taille» géométrique d'un schéma ? Les contributeurs : Wolfgang Krull, Emmy Noether, Oscar Zariski, Pierre Samuel, Jean-Pierre Serre, Masayoshi Nagata.

Un anneau local est un anneau commutatif unitaire $A$ possédant un unique idéal maximal $\mathfrak{m}$ . Le corps quotient $k=A/\mathfrak{m}$ est appelé corps résiduel. Géométriquement, un anneau local représente le germe d'une fonction au voisinage d'un point : si $X$ est un schéma et $x\in X$ un point, l'anneau local ${\mathcal{O}}^{X,x}$ est la tige du faisceau structural en $x$ , et il encode l'information infinitésimale autour de $x$ . Le problème central : les anneaux locaux constituent les briques élémentaires de toute la géométrie algébrique, et leur classification (régulier, Cohen-Macaulay, Gorenstein, complète intersection) hiérarchise les types de singularités. Les autres dénominations : anneau local au sens commutatif, anneau de germe, anneau de point. La question compacte : quelle est l'information algébrique attachée à un point d'un schéma ? Les contributeurs : Wolfgang Krull, Emmy Noether, Oscar Zariski, Masayoshi Nagata, Pierre Samuel, Maurice Auslander, David Buchsbaum, Jean-Pierre Serre.

Un anneau local noethérien $(A,\mathfrak{m})$ de dimension de Krull $n$ est régulier si son idéal maximal $\mathfrak{m}$ peut être engendré par exactement $n$ éléments, ou de manière équivalente si l'espace cotangent $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ est de dimension $n$ sur le corps résiduel. Géométriquement, la régularité d'un anneau local correspond à la lissité du schéma au point correspondant. Le théorème d'Auslander-Buchsbaum-Serre caractérise les anneaux locaux réguliers comme ceux de dimension homologique globale finie. Le problème : sur un corps non parfait, la régularité diffère de la lissité géométrique, ce qui complique l'étude en caractéristique positive et en arithmétique. Les autres dénominations : anneau local lisse, anneau de point lisse, anneau de paramètres systémiques. La question compacte : quelle propriété algébrique d'un anneau local exprime la lissité géométrique ? Les contributeurs : Wolfgang Krull, Oscar Zariski, Pierre Samuel, Maurice Auslander, David Buchsbaum, Jean-Pierre Serre, Masayoshi Nagata.

Un anneau local noethérien $(A,\mathfrak{m})$ est de Cohen-Macaulay si sa profondeur est égale à sa dimension de Krull. La profondeur d'un anneau est la longueur maximale d'une suite régulière dans l'idéal maximal, et elle est toujours majorée par la dimension. L'égalité signifie une certaine «harmonie» entre la structure algébrique et la structure homologique. Les anneaux de Cohen-Macaulay généralisent considérablement les anneaux réguliers tout en conservant de nombreuses propriétés agréables : équidimensionnalité, dualité de Serre, théorème de non-mélange. Le problème : caractériser géométriquement les schémas de Cohen-Macaulay et comprendre comment cette propriété se comporte par déformation et par changement de base. Les autres dénominations : anneau CM, anneau parfait au sens de Macaulay. La question compacte : quand profondeur et dimension coïncident-elles ? Les contributeurs : Francis Sowerby Macaulay, Irvin Cohen, Maurice Auslander, David Buchsbaum, Melvin Hochster, Jürgen Herzog, Winfried Bruns.

Un anneau local noethérien $A$ est de Gorenstein s'il est de Cohen-Macaulay et si son module canonique ${\omega }^A$ est libre de rang un, ou de manière équivalente si $A$ a une dimension injective finie en tant que $A$ -module. Cette condition raffine la condition de Cohen-Macaulay en imposant une auto-dualité. Géométriquement, les schémas de Gorenstein admettent une bonne théorie de la dualité (formule d'adjonction sans correction) et apparaissent naturellement comme intersections complètes. Le problème : les anneaux de Gorenstein constituent une classe stable par de nombreuses opérations (localisation, complétion, certains quotients), mais leur caractérisation géométrique reste subtile en dimension supérieure. Les autres dénominations : anneau auto-dual, anneau à dualité de Serre triviale, anneau de module canonique trivial. La question compacte : quelle classe d'anneaux est stable par dualité ? Les contributeurs : Daniel Gorenstein, Hideyuki Matsumura, Maurice Auslander, Hyman Bass, Jean-Pierre Serre, Robin Hartshorne.

Un anneau de valuation discrète est un anneau local principal qui n'est pas un corps, ou de manière équivalente un anneau local noethérien régulier de dimension un. Tout élément non nul $a$ d'un DVR s'écrit de façon unique $a=u{\pi }^n$ où $u$ est une unité et $\pi$ est une uniformisante (générateur de l'idéal maximal). L'entier $n$ est la valuation de $a$ . Les exemples archétypaux sont ${\mathbb{Z}}^p$ (entiers $p$ -adiques), $k[[t]]$ (séries formelles), et les localisations ${\mathcal{O}}^{C,p}$ d'une courbe lisse en un point. Le problème : les DVR jouent un rôle fondamental dans le critère valuatif de propreté/séparation et dans la définition de la ramification arithmétique. Les autres dénominations : anneau de valuation rang un, anneau local principal, anneau de Dedekind local. La question compacte : quel est l'anneau le plus simple modélisant un voisinage de point sur une courbe ? Les contributeurs : Wolfgang Krull, Kurt Hensel, Helmut Hasse, Emil Artin, Jean-Pierre Serre.

Un anneau de Dedekind est un anneau intègre noethérien de dimension un dont toute localisation en un idéal maximal est un anneau de valuation discrète. De manière équivalente, c'est un anneau intègre noethérien intégralement clos de dimension un. Les exemples fondamentaux sont $\mathbb{Z}$ , les anneaux d'entiers de corps de nombres, et les anneaux de fonctions régulières sur les courbes affines lisses. Tout idéal non nul s'y factorise de manière unique en produit d'idéaux premiers, ce qui rétablit l'unicité de la factorisation au niveau des idéaux même quand elle échoue au niveau des éléments. Le problème : généraliser cette propriété en dimension supérieure conduit à la notion de schéma normal et aux questions de factorialité. Les autres dénominations : anneau de Dedekind classique, anneau d'idéaux principalement décomposables, anneau régulier de dimension 1. La question compacte : quelle est la généralisation algébrique de la factorisation unique pour les idéaux ? Les contributeurs : Richard Dedekind, Leopold Kronecker, Ernst Kummer, Emmy Noether, Wolfgang Krull, Helmut Hasse.

Un anneau est noethérien si toute chaîne ascendante d'idéaux $I^1\subset I^2\subset \cdots$ est stationnaire, ou de façon équivalente si tout idéal est de type fini. Cette condition, isolée par Emmy Noether dans son article fondamental de 1921, garantit l'existence et la finitude des décompositions primaires, et elle est à la base de presque toute l'algèbre commutative classique. Un schéma est dit noethérien s'il admet un recouvrement fini par des spectres d'anneaux noethériens. Le problème : la noethérianité est très souvent supposée, sinon que certains anneaux importants en géométrie algébrique moderne (comme les anneaux perfectoïdes) ne sont pas noethériens, ce qui a motivé le développement d'une théorie non-noethérienne. Les autres dénominations : anneau à condition de chaîne ascendante, anneau ACC, anneau de type fini sur lui-même. La question compacte : quelle condition de finitude rend l'algèbre commutative maniable ? Les contributeurs : Emmy Noether, David Hilbert (théorème de la base), Wolfgang Krull, Emanuel Lasker, Francis Macaulay.

Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau commutatif $A$ est premier si $\mathfrak{p}\ne A$ et si pour tous $a,b\in A$ , $ab\in \mathfrak{p}$ implique $a\in \mathfrak{p}$ ou $b\in \mathfrak{p}$ . De façon équivalente, $A/\mathfrak{p}$ est intègre. Les idéaux premiers sont les points du spectre $\text{Spec}(A)$ et correspondent géométriquement aux sous-schémas fermés irréductibles. La théorie des idéaux premiers est au cœur de la traduction algèbre-géométrie : la topologie de Zariski est définie en termes d'idéaux premiers, la dimension se mesure par chaînes d'idéaux premiers, la décomposition primaire généralise la factorisation. Le problème : tous les idéaux premiers ne sont pas «géométriquement significatifs» au même titre ; les premiers minimaux correspondent aux composantes irréductibles, les premiers maximaux aux points fermés, et les premiers intermédiaires aux sous-variétés. Les autres dénominations : idéal de Krull, point spectral, idéal intègre-quotient. La question compacte : quels idéaux correspondent aux sous-objets géométriquement intègres ? Les contributeurs : Richard Dedekind, Wolfgang Krull, Emmy Noether, Wolfgang Gröbner.

Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau commutatif $A$ est maximal s'il est propre et maximal pour l'inclusion parmi les idéaux propres, ou de manière équivalente si $A/\mathfrak{m}$ est un corps. Tout idéal maximal est premier, sinon que la réciproque est fausse en général (sauf en dimension zéro). Géométriquement, les idéaux maximaux correspondent aux points fermés du spectre. Sur une algèbre de type fini sur un corps algébriquement clos, le Nullstellensatz garantit que les idéaux maximaux correspondent exactement aux points à coordonnées dans le corps de base. Le problème : sur un anneau quelconque, le corps résiduel d'un idéal maximal peut être très différent du corps de base, ce qui complique la notion de «point». Les autres dénominations : idéal maximum, point fermé. La question compacte : quels sont les points fermés d'un schéma ? Les contributeurs : Richard Dedekind, David Hilbert, Wolfgang Krull, Emmy Noether, Oscar Zariski.

Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est radical si $a^n\in I$ implique $a\in I$ pour tout $n\ge 1$ , ou de manière équivalente si $A/I$ est réduit (sans éléments nilpotents non nuls). Le radical d'un idéal $I$ , noté $\sqrt{I}$ , est l'ensemble des éléments dont une puissance appartient à $I$ ; c'est le plus petit idéal radical contenant $I$ . Par le Nullstellensatz, les idéaux radicaux d'une algèbre de type fini sur un corps algébriquement clos correspondent bijectivement aux variétés algébriques fermées de l'espace affine correspondant. Le problème : la perte d'information en passant à l'idéal radical (effacement des nilpotents) correspond précisément au passage du schéma au sous-schéma réduit, ce qui élimine les structures infinitésimales. Les autres dénominations : idéal sans nilpotent, idéal réduit. La question compacte : quelle est la structure idéale d'un sous-ensemble géométrique ensembliste ? Les contributeurs : David Hilbert, Emmy Noether, Wolfgang Krull, Emanuel Lasker.

Un idéal $\mathfrak{q}$ d'un anneau noethérien est primaire si $\mathfrak{q}\ne A$ et si pour tous $a,b\in A$ , $ab\in \mathfrak{q}$ implique $a\in \mathfrak{q}$ ou $b^n\in \mathfrak{q}$ pour un certain $n$ . Le radical $\sqrt{\mathfrak{q}}$ d'un idéal primaire est toujours un idéal premier $\mathfrak{p}$ , et on dit alors que $\mathfrak{q}$ est $\mathfrak{p}$ -primaire. Le théorème de Lasker-Noether affirme que dans un anneau noethérien, tout idéal admet une décomposition $I={\mathfrak{q}}^1\cap \cdots \cap {\mathfrak{q}}^r$ en intersection finie d'idéaux primaires, et que cette décomposition est essentiellement unique (les premiers associés et les composantes primaires isolées sont uniques). Le problème : la décomposition primaire généralise la factorisation des entiers en produit de puissances de premiers ; sa géométrie correspond à la décomposition d'un schéma en composantes (irréductibles + immergées). Les autres dénominations : décomposition de Lasker-Noether, factorisation primaire idéale. La question compacte : comment factoriser un idéal général en composants élémentaires ? Les contributeurs : Emanuel Lasker (1905), Emmy Noether (1921), Francis Macaulay, Wolfgang Krull, Pierre Samuel.

La localisation d'un anneau $A$ par rapport à une partie multiplicative $S$ (contenant $1$ et stable par produit) est l'anneau $S^{-1}A$ obtenu en inversant formellement tous les éléments de $S$ . Ses éléments sont des fractions $a/s$ avec $a\in A$ et $s\in S$ , modulo une relation d'équivalence appropriée. Les exemples fondamentaux sont la localisation en un idéal premier $\mathfrak{p}$ (où $S=A\setminus \mathfrak{p}$ ) donnant un anneau local $A^{\mathfrak{p}}$ , et la localisation en un élément $f$ (où $S=\{1,f,f^2,\dots \}$ ) donnant $A^f$ . Géométriquement, $\text{Spec}(A^f)$ est l'ouvert standard $D(f)$ de $\text{Spec}(A)$ , et $\text{Spec}(A^{\mathfrak{p}})$ est le voisinage local du point $\mathfrak{p}$ . Le problème : la localisation est l'opération géométrique fondamentale de «restriction à un ouvert» en algèbre commutative ; elle est exacte (préserve les suites exactes), ce qui en fait un outil puissant pour les arguments locaux. Les autres dénominations : passage au localisé, formation des fractions, anneau de fractions. La question compacte : comment restreindre algébriquement à un voisinage géométrique ? Les contributeurs : Heinrich Grell, Wolfgang Krull, Claude Chevalley, Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck.

La complétion $\hat{A}$ d'un anneau local $(A,\mathfrak{m})$ est la limite projective ${\underleftarrow{\lim }}^{n}A/{\mathfrak{m}}^n$ . C'est encore un anneau local, de même corps résiduel, et le morphisme canonique $A\to \hat{A}$ est plat. Sur un anneau noethérien, la complétion préserve la régularité, la Cohen-Macaulayité, et la Gorensteinité. Les exemples classiques sont ${\hat{\mathbb{Z}}}^p$ (entiers $p$ -adiques), $k[[t]]$ (séries formelles), et les anneaux locaux complets de variétés algébriques. Le théorème de structure de Cohen affirme que tout anneau local complet noethérien équicaractéristique de corps résiduel parfait est un quotient d'un anneau de séries formelles. Le problème : la complétion fait perdre l'information globale, sinon qu'elle préserve l'information infinitésimale ; elle est l'outil principal pour étudier les voisinages formels et les déformations. Les autres dénominations : complétion $\mathfrak{m}$ -adique, complétion topologique, complétion formelle. La question compacte : quelle est la structure infinitésimale complète d'un voisinage local ? Les contributeurs : Kurt Hensel, Wolfgang Krull, Irvin Cohen, Pierre Samuel, Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck.

L'henselisation $A^h$ d'un anneau local $(A,\mathfrak{m})$ est la plus petite extension henselienne de $A$ , c'est-à-dire la plus petite extension dans laquelle vaut le lemme de Hensel : toute solution approchée d'une équation polynomiale (modulo $\mathfrak{m}$ ) se relève en une solution exacte si elle est non-singulière. L'henselisation est intermédiaire entre $A$ et sa complétion $\hat{A}$ : on a des morphismes $A\to A^h\to \hat{A}$ . L'henselisation stricte $A^{sh}$ correspond géométriquement à un voisinage étale au-dessus du point fermé, sa fibre étant la clôture séparable du corps résiduel. Le problème : l'henselisation est le bon outil pour étudier la topologie étale locale, alors que la complétion correspond plutôt à la topologie formelle. Les autres dénominations : voisinage étale local, hensélisé, anneau de Hensel. La question compacte : quel est le voisinage étale local d'un point ? Les contributeurs : Kurt Hensel, Masayoshi Nagata, Michael Artin, Alexander Grothendieck, Michel Raynaud.

Un schéma $X$ est réduit si pour tout ouvert $U$ , l'anneau ${\mathcal{O}}^X(U)$ n'a aucun élément nilpotent non nul. Il est irréductible si son espace topologique sous-jacent n'est pas l'union de deux fermés propres, ou de manière équivalente si tout ouvert non vide est dense. Il est intègre s'il est à la fois réduit et irréductible, ce qui équivaut à dire que ${\mathcal{O}}^X(U)$ est un anneau intègre pour tout ouvert non vide $U$ . Ces trois propriétés se localisent : un schéma est réduit/irréductible/intègre si et seulement s'il l'est localement. Le problème : ces conditions sont les hypothèses standard pour la plupart des théorèmes classiques, sinon que les schémas non réduits encodent des informations infinitésimales cruciales (multiplicités, déformations) qu'il ne faut pas écarter d'emblée. Les autres dénominations : schéma sans nilpotent / connexe par chaînes / intègre au sens schématique. La question compacte : quelles sont les conditions algébriques garantissant l'unicité géométrique ? Les contributeurs : Oscar Zariski, André Weil, Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck.

Une composante irréductible d'un schéma $X$ est un fermé irréductible maximal de $X$ . Un schéma noethérien a un nombre fini de composantes irréductibles, qui correspondent bijectivement aux idéaux premiers minimaux de son anneau de fonctions (dans le cas affine). Les points génériques des composantes irréductibles sont les points associés au «niveau le plus haut» dans la décomposition primaire de l'idéal nul. Le problème : la décomposition en composantes irréductibles peut occulter des phénomènes plus fins (composantes immergées, multiplicités) qui apparaissent dans la décomposition primaire complète. Les autres dénominations : composantes maximales irréductibles, branches géométriques. La question compacte : comment décomposer un schéma en parties géométriquement indécomposables ? Les contributeurs : Oscar Zariski, Emmy Noether, Wolfgang Krull, Alexander Grothendieck.

Le point générique d'un schéma irréductible $X$ est l'unique point $\eta$ dont l'adhérence est $X$ tout entier. Dans le cas affine $X=\text{Spec}(A)$ avec $A$ intègre, le point générique correspond à l'idéal nul $(0)$ , et son corps résiduel est le corps des fractions $\text{Frac}(A)$ . Géométriquement, le point générique représente un «point typique» de la variété : une propriété qui est vraie au point générique est vraie sur un ouvert dense (par semi-continuité). Le problème : la notion de point générique inverse l'intuition topologique usuelle (un point est généralement fermé) ; sa compréhension est indispensable pour la géométrie algébrique moderne, où les fibres génériques jouent un rôle structurel. Les autres dénominations : point spécialisable maximal, point d'adhérence totale, $\eta$ -point. La question compacte : quel point représente la totalité d'une composante irréductible ? Les contributeurs : Oscar Zariski, André Weil, Claude Chevalley, Alexander Grothendieck.

Un point $x$ d'un schéma $X$ est une spécialisation d'un point $y$ si $x$ appartient à l'adhérence $\overline{\{y\}}$ , ou de manière équivalente s'il existe une «trajectoire continue» de $y$ vers $x$ . On note $y⇝x$ . Les points fermés sont les spécialisations terminales ; le point générique d'une composante irréductible est l'initial. La relation de spécialisation organise les points du schéma en un ordre partiel reflétant la structure géométrique. Le problème : la spécialisation permet de relier propriétés génériques et propriétés spéciales ; les théorèmes de semi-continuité affirment que certaines propriétés (rang d'un faisceau, dimension d'une fibre) ne peuvent que «sauter à la hausse» par spécialisation. Les autres dénominations : passage à la limite spécialisée, relation d'ordre topologique, dégénérescence. La question compacte : comment relier les propriétés des points génériques aux points spéciaux ? Les contributeurs : André Weil, Oscar Zariski, Claude Chevalley, Alexander Grothendieck, Pierre Deligne.

Un schéma $X$ est normal si pour tout point $x$ , l'anneau local ${\mathcal{O}}^{X,x}$ est intégralement clos dans son corps des fractions (un anneau intègre est intégralement clos si tout élément de son corps des fractions qui est entier sur lui appartient déjà à lui). La normalisation $\tilde{X}$ d'un schéma intègre $X$ est le schéma obtenu en remplaçant l'anneau local en chaque point par sa clôture intégrale ; elle vient avec un morphisme fini birationnel $\tilde{X}\to X$ . La normalisation résout les singularités en codimension un (auto-intersections, pincements) mais laisse les singularités de codimension supérieure. Le problème : la normalité est une condition naturelle de régularité partielle, suffisante pour de nombreuses constructions (diviseurs de Weil, groupe de classes), sinon que pour la lissité il faut imposer des conditions strictement plus fortes. Les autres dénominations : schéma intégralement clos local, schéma normalement intégral. La question compacte : quel niveau de régularité algébrique est-il atteint après normalisation ? Les contributeurs : Wolfgang Krull, Oscar Zariski, Masayoshi Nagata, Pierre Samuel, Alexander Grothendieck.

Un schéma $X$ est régulier en un point $x$ si l'anneau local ${\mathcal{O}}^{X,x}$ est régulier. Un schéma est régulier s'il l'est en tout point. La régularité est une notion absolue (intrinsèque au schéma) qui peut différer de la lissité relative sur la base : sur un corps non parfait, un schéma régulier peut ne pas être lisse. Le problème : sur un corps parfait, régulier équivaut à lisse, sinon qu'en caractéristique positive avec un corps non parfait, l'écart se manifeste par exemple sur le schéma $\text{Spec}({\mathbb{F}}^p(t^{1/p}))$ comme schéma sur $\text{Spec}({\mathbb{F}}^p(t))$ . Les autres dénominations : schéma à anneaux locaux réguliers, schéma de paramètres réguliers en chaque point. La question compacte : quand un schéma est-il algébriquement non singulier ? Les contributeurs : Wolfgang Krull, Oscar Zariski, Pierre Samuel, Jean-Pierre Serre, Maurice Auslander, David Buchsbaum, Alexander Grothendieck.

Un schéma $X$ sur un corps $k$ est géométriquement lisse si pour toute extension de corps $K/k$ , le schéma $X^K=X{\times }^k\text{Spec}(K)$ est régulier. De manière équivalente, $X$ est lisse comme morphisme vers $\text{Spec}(k)$ . La lissité géométrique implique la régularité absolue, sinon que la réciproque est fausse sur les corps non parfaits. La distinction est essentielle en arithmétique : les variétés sur ${\mathbb{F}}^p(t)$ peuvent être régulières sans être géométriquement lisses, ce qui affecte le calcul des invariants cohomologiques. Le problème : la lissité géométrique est la condition naturelle pour appliquer les techniques différentielles (formes différentielles, cohomologie de de Rham, théorème de Bertini). Les autres dénominations : lissité absolue, lissité universelle, lissité au sens d'EGA IV. La question compacte : quand la régularité d'un schéma est-elle stable par extension du corps de base ? Les contributeurs : Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre, Michel Raynaud, Pierre Deligne.

Une singularité d'un schéma $X$ est un point $x$ en lequel $X$ n'est pas lisse (ou pas régulier, selon le contexte). Le lieu singulier $X^{\text{sing}}$ est un fermé strict de $X$ (sous des hypothèses de noethérianité). La classification des singularités est l'un des programmes les plus vastes de la géométrie algébrique : singularités quotient, singularités rationnelles, singularités canoniques, singularités terminales, singularités de Du Val (ADE), singularités log-canoniques, etc. Le problème central : tout schéma sur un corps de caractéristique zéro admet une résolution des singularités (Hironaka, 1964), c'est-à-dire un morphisme birationnel propre $\tilde{X}\to X$ avec $\tilde{X}$ lisse. En caractéristique positive, la question reste ouverte en dimension supérieure ou égale à 4. Les autres dénominations : point singulier, point non lisse, défaut de régularité. La question compacte : où et comment un schéma cesse-t-il d'être régulier, et peut-on toujours résoudre ces défauts ? Les contributeurs : Bernhard Riemann, Max Noether, Oscar Zariski, Heisuke Hironaka, Vladimir Arnold, Miles Reid, János Kollár, Shigefumi Mori, Yujiro Kawamata.

Une résolution des singularités d'un schéma $X$ est un morphisme propre birationnel $\pi :\tilde{X}\to X$ avec $\tilde{X}$ régulier, qui induit un isomorphisme au-dessus du lieu régulier de $X$ . Le théorème de Hironaka (1964) affirme l'existence d'une telle résolution pour tout schéma de type fini sur un corps de caractéristique zéro, et même d'une résolution forte (avec diviseur exceptionnel à croisements normaux simples). En caractéristique positive, le théorème est démontré en dimension $\le 3$ (Abhyankar, Cossart-Piltant), sinon qu'il reste ouvert en dimension supérieure. Le problème : la résolution est un outil universel pour ramener les questions sur les variétés singulières à des questions sur les variétés lisses ; sa démonstration est l'un des résultats les plus profonds et techniques de la géométrie algébrique. Les autres dénominations : désingularisation, monoïdalisation, blow-up successif. La question compacte : peut-on toujours remplacer une variété singulière par une variété lisse birationnelle ? Les contributeurs : Oscar Zariski (dimension 2 et 3 en caractéristique zéro), Heisuke Hironaka (1964, toute dimension caractéristique zéro), Shreeram Abhyankar (caractéristique positive en dimension 2 et 3), Vincent Cossart, Olivier Piltant, Edward Bierstone, Pierre Milman, Jaroslaw Wlodarczyk, Janos Kollár.

L'éclatement d'un schéma $X$ le long d'un sous-schéma fermé $Z$ (défini par un idéal $\mathcal{I}$ ) est le schéma ${\text{Bl}}^Z(X)=\text{Proj}({⨁}^{n\ge 0}{\mathcal{I}}^n)$ , équipé d'un morphisme propre $\pi :{\text{Bl}}^Z(X)\to X$ qui est un isomorphisme au-dessus de $X\setminus Z$ et qui remplace $Z$ par le fibré projectivisé $\mathbb{P}(\mathcal{I}/{\mathcal{I}}^2)$ (lieu exceptionnel). L'éclatement est l'opération birationnelle élémentaire : il modifie la géométrie d'une variété de manière contrôlée en codimension supérieure ou égale à deux. Le problème : l'éclatement est l'outil fondamental de la résolution des singularités et du programme du modèle minimal ; sa compréhension géométrique et cohomologique est centrale. Les autres dénominations : transformation monoïdale, modification, $\sigma$ -processus, dilatation. La question compacte : comment remplacer un sous-schéma par son fibré projectivisé sans modifier le reste ? Les contributeurs : Bernhard Riemann (idée initiale en dim 1), Max Noether, Oscar Zariski, Igor Shafarevich, Heisuke Hironaka, Robin Hartshorne, William Fulton.

Un faisceau cohérent $\mathcal{F}$ sur un schéma $X$ est un faisceau de ${\mathcal{O}}^X$ -modules tel que localement, il existe une présentation finie ${\mathcal{O}}^X\to {\mathcal{O}}^X\to \mathcal{F}\to 0$ avec $p$ et $q$ entiers. Sur un schéma noethérien, cohérent équivaut à quasi-cohérent et de type fini. Les faisceaux cohérents constituent la catégorie centrale d'étude en géométrie algébrique : ils incluent le faisceau structural, les faisceaux d'idéaux des sous-schémas fermés, les faisceaux de différentielles, et tous les faisceaux «géométriques» naturels sur des schémas de type fini. Le problème : la catégorie des faisceaux cohérents est abélienne et noethérienne, ce qui permet de définir des invariants comme la caractéristique d'Euler et les groupes de cohomologie ; sinon que la catégorie n'a généralement pas assez d'objets projectifs, ce qui complique l'algèbre homologique. Les autres dénominations : ${\mathcal{O}}^X$ -module cohérent, faisceau coherent au sens d'EGA, FAC (Faisceau Algébrique Cohérent). La question compacte : quels sont les modules géométriques de type fini et présentation finie ? Les contributeurs : Henri Cartan, Jean-Pierre Serre (article FAC, 1955), Alexander Grothendieck, Kiyoshi Oka, Hans Grauert, Reinhold Remmert.

Un faisceau quasi-cohérent $\mathcal{F}$ sur un schéma $X$ est un faisceau de ${\mathcal{O}}^X$ -modules tel que localement, il admette une présentation ${\mathcal{O}}^X\to {\mathcal{O}}^X\to \mathcal{F}\to 0$ avec $I$ et $J$ d'ensembles d'indices quelconques (non nécessairement finis). Sur un schéma affine $\text{Spec}(A)$ , les faisceaux quasi-cohérents correspondent exactement aux $A$ -modules : le foncteur $M\mapsto \tilde{M}$ qui à un module associe son faisceau associé est une équivalence de catégories. Le problème : la catégorie des faisceaux quasi-cohérents est plus grande que celle des faisceaux cohérents, et possède plus de propriétés agréables (existence de limites et colimites arbitraires, existence d'assez d'injectifs), ce qui en fait le cadre naturel pour l'algèbre homologique en géométrie algébrique. Les autres dénominations : QCoh, ${\mathcal{O}}^X$ -module quasi-cohérent. La question compacte : quelle est la catégorie naturelle des modules sur un schéma ? Les contributeurs : Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck, Roger Godement, Pierre Gabriel.

Un faisceau de ${\mathcal{O}}^X$ -modules $\mathcal{F}$ est localement libre de rang $n$ si pour tout point $x\in X$ , il existe un voisinage ouvert $U$ tel que $\mathcal{F}{|}^U\cong {\mathcal{O}}^U$ . Sur un schéma noethérien, les faisceaux localement libres de rang fini correspondent bijectivement aux fibrés vectoriels algébriques, par le foncteur qui à un fibré vectoriel associe son faisceau des sections. La théorie des fibrés vectoriels constitue le cœur géométrique de la K-théorie et de la théorie des classes caractéristiques. Le problème : la classification des fibrés vectoriels est un problème central : sur la droite projective les fibrés sont classifiés par le théorème de Grothendieck (somme directe de fibrés de degré), sinon que sur les variétés de dimension supérieure ou genre supérieur, la classification devient extrêmement riche (espaces de modules de fibrés de Mumford). Les autres dénominations : fibré algébrique, module projectif relatif, ${\mathcal{O}}^X$ -module localement libre de type fini. La question compacte : quelles structures linéaires varient continûment sur un schéma ? Les contributeurs : Hassler Whitney, Heinz Hopf, Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck, Michael Atiyah, Friedrich Hirzebruch, David Mumford, Shigeru Mukai.