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Publié par Le Cazals

Plusieurs citations de Stephen Hawking, Albert Einstein et le digeste d'un article paru dans Pour la science sur les avatars de la rigueur mathématique. Et si nous révisions nos positions sur les mathématiques et si elles n'étaient que la théorie formelle du deuxième genre de connaissance, selon Spinoza, la connaissance vraie étant intuitvie (c'est-à-dire du troisième genre). Si comme le dit Badiou, l'apôtre du mathème, le critère de la mathématique n'est pas le vrai mais le beau (il faut recouper deux de ses passages pour cela).

L'astrophysicien hawking disait « moi-même, je n'aimes pas tellement les équations ... je n'ai pas de sensibilité intuitive pour les équations » HawTN_49. La citation qui suit resitue de mainère plus nuancée les choses :

« A l'école, les sciences sont présentées de manière sèche est inintéressante. Les enfants apprennent leurs leçons sans essayer des les comprendre [machinalement si vous voulez], dans le seul but de passer les examens, et ils ne perçoive pas le rapport avec le monde qui les entoure. De plus les sciences, sont bien souvent enseignées sous forme d'équations. Bien que les équations soient une manière concise et exacte de décrire les idées mathémaitques, elles effraient la majorité des gens. Il y a quelques temps, comme j'écrivai un livre à l'intention du grand public , on m'a averti que chaque équation que j'y incluerais diviserai les vente par deux. J'en ai laissé qu'une la fameuse équaiotn d'Einstein E = Mc2. Peut-être aurais-je vendu deux fois plus d'exemplaires sans elle.

Les scientifiques et les ingénieurs tendent à exprimer leurs idées sous formes d'équations parce qu'ils ont besoin de connaître la vleur précise des quantités qu'ils utilisent. Mais pour les autres, une appréhension qualitative [comprenez non-scientifique, comme il existe une compréhension non-philosophique] des concepts scientiques est suffisante, et celle-ci est communiquée par les mots et les diagrammes, sans recourrir à des équations. HawTN_43
 



On peut ajouter cette pensée fort à propos d'Einstein, Mathématique et expérience :

« Parmi les sciences, la mathématique jouit d'un prestige particulier pour la raison suivante : ses prpositions sont d'une certitude absolue et à l'abri de toute contestation, tandis que celles des autres sciences sont, jusqu'à un certain point, sujettes à discussion et toujours susceptible d'être renversé par des faits nouveaux. Malgré cela, le chercheur dans un autre domaine ne devrait pas encore envier le mathématicien quand ses propositions ne se rapportent aux objets de la réalité, mais à ceux de notre simple imagination.Car il ne faut pas s'étonner d'arriver à des conclusions logiques concordantes, dès qu'on s'est mis d'accord sur les propositions fondamentales (axiomes), ainsi que sur les les méthodes au moyen desquelles d'autres propositions doivent petres déduites de proposiitons fondamentales. Mais ce grand prestige de la mathématique repose d'autre part sur le fait que c'est elle qui confère aux sciences exactes un certain degré de certitude qu'elles ne pourrait pas atteindre autrement.

Ici surgit une énigme qui a fortement troublé les chercheurs de tous les temps. Comment se fait-il que la mathématique, qui est un produit de la pensée humaine et indépendante de toue expérience, s'adapte d'une si admirable manière aux objets de la réalité ? La raison humaine serait-elle donc capable sans avoir recours à l'expérience, de découvrir par son activité seule les propriétés desobjets réels ?

A cette question, il faut, à mon avis, répondre de la façon suivante : Pour autant que les propositions se rapportent à la réalité elles ne sont pas certaines, et pour autant qu'elles sont certaines , elle ne se rapportent pas à la réalité. La parfaite clarté sur ce sujet n'a pu devenir bien commun que grâce à cette tendance en mathématique, qui est connu sous ne nom d'axiomatique. Le progrès réalisé par cette dernière consiste en ceci que la partie logique et formelle constitue seule l'obet de la mathémaitque, mais non le contenu intuitif ou autre qui lui est associé » EinGE_13-14

 

 

 


« Les mathématiques sont réputées pour leur rigueur : un raisonnement mathématique est souvent synonyme de raisonnement parfait, sans faille et indiscutable. ... La rigueur absolue est un idéal qui se révèle inatteignable et, en pratique, les critères de rigueur ont varié au fil des décennies et des siècles. Ce qui paraît rigoureux à une époque ne l’est pas nécessairement à une autre. Quelques exemples illustreront ici cet aspect des choses, que des historiens et philosophes des sciences tentent de décrire et d’analyser. Pour appuyer ces exemples, les réflexions d’Henri Poincaré, qui a souvent utilisé le terme de rigueur tout en l’explicitant, nous guideront. Dans son ouvrage de 1905 La valeur de la science, cet éminent mathématicien français se demande : « Avons-nous atteint enfin la rigueur absolue ? À chaque stade de l’évolution, nos pères croyaient l’avoir atteinte. S’ils se trompaient, ne nous trompons-nous pas comme eux ? ». Une page plus loin, Poincaré affirme que son époque a atteint la rigueur absolue. « Si nous lisons un livre écrit il y a cinquante ans, la plupart des raisonnements que nous y trouverons nous sembleront dépourvus de rigueur », écrit-il en 1908 dans sa Science et méthode. Il cite alors plusieurs résultats, admis sans preuve auparavant, qui sont démontrés à son époque, tels que l’application des opérations arithmétiques aux nombres irrationnels (1). Il cite aussi des résultats réputés vrais, mais qui étaient faux, tels que l’affirmation qu’une fonction continue a toujours une dérivée. Il mentionne enfin des objets ou notions mathématiques qui étaient mal définis, tels que la continuité (2). Poincaré a le sentiment que la rigueur absolue est atteinte à son époque car, « dans l’Analyse d’aujourd’hui, quand on veut se donner la peine d’être rigoureux, il n’y a plus que des syllogismes ou des appels à cette intuition du nombre pur, la seule qui ne puisse nous tromper ». Rappelons que les syllogismes sont les règles élémentaires de la logique (par exemple : si A implique B et B implique C, alors A implique C), et par « intuition du nombre pur » Poincaré fait allusion à la notion de nombre entier. Poincaré rejoint ainsi Aristote, qui exigeait l’usage des syllogismes dans les démonstrations scientifiques, syllogismes appliqués à des prémisses vraies, premières, indémontrables.
Cette exigence renvoie au discours axiomatico-déductif des Éléments d’Euclide, présentation du savoir mathématique qui a été considérée des siècles durant comme un modèle de rigueur par beaucoup de mathématiciens. Pourtant, selon d’autres mathématiciens, les Éléments ne sont pas exempts de manquements à la rigueur. Qui plus est, comme on va le voir, les défauts relevés ne sont pas les mêmes selon les époques. Comme le rapporte Proclus, commentateur du Ve siècle de ces Éléments, Zénon de Sidon, au Ier siècle avant notre ère, critiquait Euclide dès sa première proposition. Zénon lui reprochait d’utiliser implicitement un principe qui aurait dû figurer dans la liste des postulats, à savoir que deux droites qui se rencontrent n’ont pas de segment commun (voir les figures 1 et 2). Ainsi, selon Zénon, il manque un axiome à la liste des postulats d’Euclide. Faisons un saut de quelques siècles. Adrien-Marie Legendre, après bien d’autres mathématiciens, a voulu démontrer le postulat des parallèles d’Euclide, afin, écrit-il dans la 12e édition de ses Éléments de géométrie en 1823, de « rétablir la marche d’Euclide devenue entièrement rigoureuse par la suppression de son postulatum ». Ce célèbre postulat des parallèles, que beaucoup ont essayé d’obtenir comme une conséquence des autres axiomes de la géométrie, revient à dire qu’étant donnés une droite D et un point P extérieur à cette droite, il ne passe par P qu’une seule droite parallèle à D. Legendre donne dans cette édition une nouvelle démonstration, qui se révélera, comme les précédentes, non rigoureuse et fausse. L’invention des géométries non euclidiennes, dans les années 1820-1830, par le Hongrois Janos Bolyai et le Russe Nikolaï Lobatchevsky, a prouvé que les nombreuses tentatives de démonstration du postulat des parallèles étaient toutes défectueuses et vouées à l’échec. Dans ces deux exemples, les critiques sur le manque de rigueur d’Euclide attribuent la faille du raisonnement à une confiance excessive accordée aux figures de la géométrie.

[p. 13] La démarche déductive d’Euclide sera critiquée chez les auteurs d’Éléments de géométrie, tels Antoine Arnauld en 1667 ou Alexis Claude Clairaut en 1741, car elle n’était pas susceptible d’éclairer ou d’intéresser le lecteur. Clairaut, qui souhaitait donner à son lecteur l’esprit d’invention et l’occuper continuellement à résoudre des problèmes, écrivait ainsi : « On me reprochera peut-être, en quelques endroits de ces Éléments, de m’en rapporter trop au témoignage des yeux, et de ne m’attacher pas assez à l’exactitude rigoureuse des démonstrations. » Mais pour lui, si Euclide a utilisé des « raisonnements en forme », c’est qu’il avait besoin de convaincre des sophistes obstinés et de « fermer la bouche à la chicane ». »
Evelyne Barbin, Les avatars de la rigueur mathématique, in Pour la Science, n°356, juin 2007, p. 10.
 

 

(1). « Comme le sous-entendait Poincaré, le calcul opérant sur les nombres entiers est un modèle de rigueur, d’où l’idée de s’appuyer sur lui pour construire des mathématiques rigoureuses. ... Vers 1870, l’Allemand Richard Dedekind définit les nombres irrationnels comme des partitions de l’ensemble des nombres rationnels (qui s’écrivent sous la forme p/q, où p et q sont des entiers) en deux classes ; c’est sa définition, abstraite mais précise, qui a permis pour la première fois de justifier l’application des opérations arithmétiques aux irrationnels. »
(2) Nous relevons un autre extrait de l'article, p. 11-12. « Comme l’écrit Poincaré dans La valeur de la science : « La rigueur ne pourrait s’introduire dans les raisonnements si on ne la faisait entrer d’abord dans les définitions. » La définition de la continuité de Bolzano ou de Weierstrass ne fait pas appel aux notions d’infiniment petit ou de quantité évanouissante, introduites au XVIIe siècle par Leibniz et Newton, les inventeurs du calcul infinitésimal. Ces notions avaient été vite critiquées, non seulement parce qu’elles ne sont pas définies avec précision, mais aussi parce que le calcul qui leur est associé ne suit pas tout à fait les règles du calcul algébrique. Par exemple, si l’on considère deux quantités x et y augmentées de quantités infiniment petites dx et dy, leur produit xy est augmenté de d(xy) = x dy + y dx. Pour obtenir ce résultat, on commence par un calcul ordinaire : d(xy) = (x + dx) (y + dy) – xy = xy + y dx + dx dy. Mais il faut ensuite éliminer le terme dx dy (un infiniment petit d’ordre supérieur, par rapport à dxy), ce que le calcul ordinaire n’autorise pas. Leibniz finira par demander aux mathématiciens de considérer les infiniment petits comme des « fictions utiles ». Cela a satisfait nombre de mathématiciens du XVIIIe siècle, puis a été remis en question jusqu’à complète disparition de ces « fictions ». Pour les critiques, le manque de rigueur résidait cette fois dans le calcul. [... p. 13. Poincaré] reprend des définitions, telle celle de Weierstrass pour la continuité d’une fonction, dont il a dit qu’elles sont rigoureuses et qu’elles permettent d’éviter des difficultés mathématiques. Mais cette fois, il explique qu’il est exclu de les enseigner de prime abord. Il écrit de la continuité : « Ce n’est d’abord qu’une image sensible, un tracé à la craie sur un tableau noir. Peu à peu elle s’épure ; on s’en sert pour construire un système compliqué d’inégalités […]. Et pourtant, si le professeur ne rappelait l’image primitive, comment l’élève devinerait-il par quel caprice toutes ces inégalités se sont échafaudées de cette façon les unes sur les autres ? » »

 



HawTN_ : Hawking, Trous Noirs et bébés univers (1993), éd. Odile Jacob, 2000.
EinGE_ : Einstein, « La Géométrie et l'expérience » (Discours prononcé à l'académie des sciences de Berlin le 27 janvier 1921 et complété ensuite) in Sur l'Electrodynamique en movement suivi de..., réédit. oblongue Jacques Gabais, 1994 p. 13-14,

Pour rebondir ceci rejoint un peu ce que disait Schopenhauer du rapport qu'entretien un génie avec les mathématiques (voir génie dans ce lexique)


edit 27 mai 2007

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