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Publié par Anthony

L’enchantement du virtuel

Chimère n°2, été 1987.

JE VAIS VOUS PARLER UN PEU DU VIRTUEL et de ce que j’ai appelé « l’enchantement du virtuel », formule provocatrice. C’est beaucoup plus ambigu que cela ne paraît. Ce n’est pas du tout « enchanteur ». Je vais essayer simplement de dégager comment la virtualité permet d’intervenir dans la construction des concepts physico-mathématiques. Je me restreins à ce domaine (qui est déjà considérable !), avec quelques exemples seulement. Pourquoi la virtualité est-elle liée à la physique mathématique ? Je vais expliquer très brièvement comment j’en suis venu là.

Rappelons que la métaphysique d’Aristote distingue deux types d’êtres : les êtres mathématiques qui sont dans l’éternité et qui n’ont pas d’existence par eux-mêmes (Ils ne sont pas « séparés ») ; à l’extrême opposé, les êtres physiques qui, eux, ont une existence séparée, mais ne sont pas éternels. Donc on a deux natures qui s’affrontent, une nature mathématique et une nature physique. Et pourtant la physique mathématique a été construite, elle est possible, et de plus elle fonctionne, et même très bien. Avec Aristote, il y avait la théologie : les natures mathématiques étaient là, les natures physiques étaient là et vous aviez des êtres au-dessus, d’un ordre supérieur, qui permettaient d’assurer la cohésion des deux choses. Sinon c’est le chaos. Seule, il faut bien le dire, la civilisation occidentale a compris qu’on peut maîtriser ce chaos qui résulte de la confrontation des êtres physiques et des êtres mathématiques. En tout cas, il faut voir là un enjeu métaphysique tout à fait fondamental ; en quoi cela intéresse-t-il la virtualité, je vais le dire tout de suite.

Je vais centrer la chose. Un tout petit concept comme la virtualité engage tous les rapports entre la physique et les mathématiques.

Il y a bien sûr cette « épistémologie » qui rôde, qui voit les mathématiques comme étant « abstraites ». Quand j’entends cela, ça me fait bondir au plafond, les mathématiques « abstraites » ! Ce que ce terme peut avoir l’air odieux. Abstrait ! La physique, elle, serait concrète, étant censée s’appliquer, être dans la nature, dans le réel. Je résume un peu les banalités que les gens racontent sur ce domaine.

En fait si on regarde comment se construisent les grands concepts de la physico-mathématique, on voit que ce n’est pas du tout comme cela que ça fonctionne. Effectivement, si on regarde constamment deux êtres l’un en face de l’autre : des êtres qui relèveraient de l’esprit, qui seraient les êtres mathématiques, construits avec la seule intelligence ; d’autre part les êtres physiques qui seraient complètement transcendants, déjà complètement immergés dans l’actuel, il y a nécessairement un paradoxe. C’est consternant ! on est pris dans un dilemme.

Pour Aristote l’espace abstrait n’existait pas, c’était simplement l’espace « entre » les choses. À partir du moment où une théologie était possible, qui groupait les deux ordres d’êtres, l’espace n’avait pas à être un espace abstrait, tel que nous le connaissons. C’était simplement immergé entre les choses, déjà actualisé. Donc pour arriver à faire une physique mathématique, il fallait d’abord construire un espace abstrait, homogène, dans lequel pouvaient ensuite s’immerger les choses. La physique mathématique implique déjà l’obligation de construire un espace abstrait pour arriver à dire quelque chose. Que les êtres physiques ne soient pas complètement transcendants et que déjà la géométrie « apprivoise » (Le véritable scandale galiléen : Géométrie et Physique sont homologues. Bien plus important que la terre qui tourne !) les êtres physiques, ça c’est la grande idée de Galilée. Et ce n’est pas du tout une hypothèse au sens d’une « hypothèse de travail », c’est un coup d’audace, (il dit cela sur un ton extrêmement violent) il a raison car c’est un coup d’état. Il dit, je le transcris en termes modernes : de toutes façons, s’il y a un espoir, si on veut garder l’intelligibilité en disloquant la métaphysique d’Aristote, il faut qu’il y ait une espèce de rapport entre la genèse des concepts mathématiques et celle des concepts physiques.

Alors comment s’inscrit la virtualité là-dedans ? Je vais aller très vite en passant à Leibnitz, car je crois que c’est Leibnitz qui a compris tout l’enjeu de cette virtualité. Où en était-on à ce moment-là ? Il y avait les « Cartésiens », mais subsistait encore une sorte de domination de la « géométrie », prise dans son mauvais sens, au sens des figures, des choses fixes comme points dans l’espace. (Même si à l’époque de Descartes c’était un progrès considérable !) Mais en tous cas Leibnitz dit « ça ne va pas parce que les sphères ne brûlent pas » ; ça paraît idiot mais c’est génial. Effectivement les sphères ne brûlent pas. Les points, ça ne pèse rien ! Leibnitz considère que le cercle ce n’est pas une chose qui est immergée dans un espace, ce n’est pas un ensemble de points comme on le définit dans les manuels. Il dit qu’au fond les points, ce sont déjà des sources de choses. Il faut les comprendre, mathématiquement même, comme des créateurs de « possibilités ». Je préfère le terme de virtuel. Un point, pour Leibnitz c’est l’intersection de droites. Il avait déjà tout à fait l’idée du dualisme projectif. Il veut faire vivre ces points ! : les sphères commenceront à brûler ou les points commenceront à peser si on sait les capter correctement, non comme des « figures géométriques », mais bien comme des puissances d’explosion.

C’est ainsi qu’il faut comprendre le calcul différentiel. Pour Leibnitz et pour les géomètres algébriques modernes, une figure, je prends une courbe par exemple (quelqu’un qui ne connaît pas les maths voit ça comme un dessin), on y voit tout de suite un croisement et une possibilité d’organiser la structure à partir de ce croisement. Les points ne sont plus des points en tant qu’ils sont le résultat d’une désignation une manière de pointer une chose ; la désignation assassine toute virtualité… au moment même où j’ai désigné la chose ; ce qui est très drôle dans la désignation c’est qu’effectivement il y a un côté sensible, quelque chose d’extrêmement riche et en même temps d’extrêmement pauvre : à partir du moment où j’ai désigné un point, tout est dit. « J’en ai trop dit ! » Il doit y avoir une théorie du texte assez proche… Il y a un roman de la géométrie à écrire.

Le point ce n’est pas effectivement seulement une manière de désigner, pour un géomètre algébriste (et cela va expliquer après comment la physico-mathématique est possible), c’est un quotient de polynome… etc. Systématiquement comme le comprend Leibnitz c’est une manière de voir cela (la géométrie) comme des puissances de mouvement, des puissances d’explosion. Les points sont des puissances d’explosion de droites, des intersections de droites, et d’un point de vue moderne dans la géométrie algébrique, ces points-là sont des intersections de courbes.

J’ai l’air de dévier si je parle d’Abel mais c’est lié à cette histoire de points de Leibnitz. Abel a démontré un grand théorème, (les mathématiciens disent que c’est génial). Si on regarde profondément la démonstration, on voit que c’est tout à fait lié à ce genre d’idées.

Pour Abel, il s’agit d’une courbe quelconque et pour étudier un certain nombre d’intégrales (les relations entre des intégrales prises sur la même courbe), je ne vais pas rentrer dans le détail, c’est quelque chose de compliqué, il ne considère plus la courbe comme étant fixée, (on disait « proposée », c’est prodigieux !), il ne voit plus la courbe comme proposée mais comme puissance à recevoir des intersections, ce qu’on appelle des faisceaux de courbes (tout le monde connaît les faisceaux de cercles, je ne vais pas revenir là-dessus !). Mais cela n’est jamais enseigné dans les manuels au lycée. Moi je me rappelle très bien, en « taupe », on dit : vous avez un cercle, des figures, des ensembles de points, c’est la façon dont c’est enseigné maintenant même, des ensembles de points dans le plan, etc. Eh bien là, il y a des quantités de choses qui sont justes et en même temps qui déforment l’esprit. On voit cela comme un ensemble, quelque chose qui a un côté amorphe et abstrait (effectivement j’ai été très méchant avec le mot « abstrait », ici c’est « abstrait » au sens où on a littéralement soutiré la détermination, ce qui par conséquent laisse une espèce de cadavre !). Cette courbe, le mathématicien en sortira telle équation mais n’en sortira pas le théorème d’Abel qui, lui, voit cette courbe comme une possibilité de faire passer des faisceaux de courbes à travers eux.

Je ne donne pas du tout la raison des choses, mais en tous cas retenez cette idée extraordinaire de provoquer, de démanger la courbe. La courbe « proposée », c’est celle-là et voilà la courbe « adjointe » ou le faisceau de courbes adjointes. Démanger les courbes, il y a vraiment provocation, provocation rationnelle. En quoi cela m’intéresse particulièrement, c’est que j’essaie de couvrir comme Bachelard, le rationalisme qui accompagne la physique mathématique, et je crois que c’est un des secrets de la chose, effectivement cette manière qu’a la mathématique, de façon complètement expérimentale, de gratter certains points, qu’on appelle des singularités. Il faut vraiment comprendre comment les objets naissent de cette démangeaison. Et je crois que c’est là.

Cette manière de démanger les êtres les plus abstraits est en fait une espèce de schème expérimental « physique ». Par conséquent, dans ce cas, la physique mathématique est possible puisqu’effectivement c’est la même démangeaison. Il ne s’agit pas de dire que la mathématique, « c’est abstrait » et que la physique on peut la comprendre ensuite a posteriori. Pas du tout ! Ce que je prétends, c’est qu’effectivement, il y a une manière de démanger le réel mathématique avec les singularités, comme je l’ai expliqué là systématiquement, en considérant telle courbe comme une puissance de choses à croiser (des tas de courbes qui se déforment et un certain nombre d’invariants qui peuvent subsister, par exemple). L’idée directrice de ma recherche est la suivante : essayer de montrer qu’il y a une homologie rationnelle entre la démangeaison, la provocation du « réel » mathématique et puis la provocation « expérimentale » de la physique.

En effet que fait la physique ? La physique des particules, par exemple, prend des particules, frappe, fait des collisions et provoque des apparitions, des émergences, des fulgurations. Puisqu’effectivement on ne peut pas espérer faire une physique mathématique avec des choses « réelles », des choses qui sont déjà là. Tout le sens commun a une vision a posteriori, actualisée des choses. C’est comme cela effectivement qu’on apprend la physique et la mathématique dans les classes et c’est comme cela que les enseignants retransmettent ce pathos, mais les gens qui cherchent ou les gens qui essayent de penser la physique mathématique, ce n’est pas du tout comme cela qu’ils procèdent, sinon on aurait constamment deux êtres qui se regarderaient comme des sphinx, comme des chiens en faïence, et là Aristote nous attend toujours au coin du tournant : pas de théologie, vous êtes foutus !

Effectivement, d’une part vous avez le réel en face et puis vous avez vous qui pensez dans votre coin ! C’est bloqué !

Alors pour faire peser les points et brûler les sphères ou pour faire des symphonies avec les courbes, il faut effectivement ne plus considérer les points comme étant dans le plan, mais étant déjà des puissances algébriques en quelque sorte. Je ne vais pas donner de détails, mais, en tout cas, c’est cela que feront certains plus tard qui considèrent le point ici, ce n’est plus un point x = 1 ou je ne sais quoi, justement ce n’est plus un x =, et voilà donc un point du cercle ! Quand j’ai dit cela, je n’ai plus qu’à aller me coucher. Quel intérêt d’avoir mis un x = ! J’ai un point « abstrait » du cercle, ça n’a strictement aucun intérêt. J’aurai dit vraiment des choses sur le cercle quand j’aurai construit des fonctions sur le cercle ou par exemple mis des sinus, quand je pourrai par exemple enrouler une droite sur un cercle avec le sinus, un point de vue constamment dynamique dans la mathématique, et par conséquent comme il y a cette dynamique, je dis, et cela c’est le coup d’audace de Galilée, que cette dynamique est en correspondance rationnelle avec la dynamique expérimentale de la physique, et là je crois avoir trouvé un levier pour comprendre la physique mathématique moderne.

Donc la virtualité… ce n’est pas le possible ! Dans le possible il y a encore un côté « abstrait » de considération « extérieure », de gestion de l’« étant » mathématique (La virtualité permet de contourner la critique de Heidegger : la science moderne réduit l’Être à l’« étant ».). Quand Abel fait sa démonstration, il ne se pose pas la question de savoir si telle courbe croise telle autre, si c’est possible ou pas. De toutes façons il n’hésitera pas, quand il y a deux cercles qui sont disjoints, à dire qu’ils se coupent dans des points imaginaires. De toutes façons, quand ça ne se coupe pas, quand ce n’est pas possible, on crée le possible. Le mathématicien ne va pas se gêner avec le possible ou l’impossible, et d’ailleurs à la limite le physicien non plus. On le verra tout à l’heure. J’entends déjà les cris, « la physique c’est du réel », « Vous ne pouvez pas faire ce que vous voulez ». C’est l’argument du réalisme odieux, l’argument réactionnaire par excellence : « Vous n’êtes pas dans le réel, vous ignorez le réalisme. » Effectivement, il se trouve que tout ce qu’on a découvert jusqu’à présent, depuis la découverte du feu jusqu’au théorème d’Abel, à chaque fois c’est quelqu’un qui a eu l’idée de mettre en rapport deux choses et ce n’était pas dans le réel ! C’est cela qui est extrêmement difficile parce que les conservateurs vont me répondre tout de suite : dans ce cas-là vous vous fichez du réel, vous n’y êtes pas ! Non, il y a justement cette espèce de chose intermédiaire qui est utilisée en art ou dans la pensée, et dans la « vrai » politique et qui s’appelle le virtuel, et c’est une chose qui ne tient sa consistance que de lui-même, quelque chose d’extrêmement fragile, c’est une fragilité absolue, et c’est pour cela que c’est difficile à expliquer, difficile à comprendre, et en même temps c’est quelque chose d’implacable. Cette impression extraordinaire que ça laisse une trace et qu’on ne peut plus revenir après ; beaucoup plus que le réel ou le possible ; le réel, on a l’impression que ça change tout le temps, les hommes politiques, ça change tout le temps (les hommes politiques, c’est le réel typique !), il y a Giscard, il y a machin, effectivement c’est du réel, mais en même temps on a l’impression que ce n’est rien du tout. Mais dans le théorème d’Abel, cette courbelà, depuis 1826, on ne peut plus la voir de cette manière. C’est irréversible ! il y a une puissance irréversible dans le virtuel (L’innocence « efficace » du virtuel !), alors que le possible laisse toujours un sorte de côté réversible, il y a ambiguïté dans le possible.

On a l’impression que le réel est irréversible, et en fait c’est la chose la plus réversible qui soit, il y a des choses qui, effectivement, étaient pensées comme réelles à un moment donné et qui sont devenues complètement irréalistes ; alors que le virtuel avec son côté fragile, est une des choses les plus décisives, les plus implacables qui soient. Et c’est parce qu’il n’a pas peur des choses et il les fait exploser. C’est Leibnitz qui a vu tout l’enjeu métaphysique, physique des mathématiques, puisqu’il a médité Aristote et qu’il a dit : oui, il faudrait quelque chose qui soit entre l’acte et la puissance. Là c’est une allusion directe aux cartésiens, puisque Descartes disait : qu’est-ce que c’est donc que cette phrase de ce pauvre Aristote : « le mouvement est l’acte en puissance en tant qu’il est (encore) en puissance » et Descartes dit : moi je n’y comprends rien, ce n’est pas « clair » ! La clarté de Descartes peut être odieuse et Leibnitz avait très bien compris ce que voulait dire Aristote.

Il a médité cette histoire de premier moteur, qui peut se comprendre comme une pensée de la virtualité. Le premier moteur est quelque chose qui est complètement immobile et qui, en même temps, est l’essence même de la motricité. C’est une chose qui est avant toute dissipation de puissance, toute actualisation, qui peut mouvoir tout précisément parce qu’il ne se meut pas, parce qu’il ne se déplace pas. Il y a une espèce de perfection de la sagesse dans le premier moteur (qui est probablement le concept central d’Aristote) qui est à la fois un concept éthique, métaphysique et physique et Leibnitz a pris cela très au sérieux et n’a pas du tout dit que c’était du délire de vieux Grec. La notion de calcul différentiel est un instrument typique de premier moteur. Effectivement. Le premier moteur n’est pas une chose qui se déplace, il faut saisir cette espèce de nouveau caractère ; quand un concept métaphysique s’inscrit dans une grande révolution scientifique, on peut dire que ça correspond toujours à une précipitation de la métaphysique et non pas contre la métaphysique. En effet le calcul différentiel n’a pas été inventé contre les choses mais au contraire comme une appréhension opératoire du Premier Moteur. Il faut dire que chez Leibnitz il y avait non seulement possibilité de calculer, mais par-dessus le marché il y avait toute une théorie méta-physique très cohérente. La virtualité ce n’était pas quelque chose comme ça en l’air ! Pourquoi cette histoire de premier moteur est-elle liée au calcul différentiel ? Pour Leibnitz, ce triangle, par exemple, ce n’est plus ça, il veut le voir comme quelque chose qui peut se déplacer infiniment peu. Mais justement, c’est là toute l’ambiguïté. C’est là où l’on voit comme les théories du réel et du possible sont absurdes, parce que d’abord un triangle qui se déplace infiniment peu ce n’est pas possible, ce n’est certainement pas réel non plus, et pourtant Leibnitz ne voit pas ce triangle comme étant fixe mais il le voit comme bougeant « un peu ».

Mais attention, c’est là l’erreur classique qu’on fait dans l’enseignement, en général, pour faire comprendre soi-disant ! D’ailleurs c’est extrêmement curieux à quel point cette notion de virtualité est massacrée dans l’enseignement, cela consiste à rabattre un concept extrêmement subtil comme la virtualité sur des catégories d’actualisation, de réel et de possible : on dit toujours, oui il faut voir ça comme un accroissement petit. C’est la pire erreur qui soit ! Il faut dire exactement le contraire : il faut dire que le triangle n’existe qu’en tant qu’il y a des triangles virtuels autour de lui. Le triangle n’existe pas en tant que figure rigide comme signe perché dans l’espace mais il existe en tant que mobile. Ce n’est pas une position, ce n’est pas un x = 1, il n’existe qu’en tant qu’il y a des triangles infiniment proches et c’est toute la génération des concepts de la géométrie différentielle, comme par exemple pour la courbure. À ce moment-là il y a une floraison de choses qui correspondent à cette inscription de la catégorie métaphysique du virtuel. Les cercles infiniment voisins… Il faut attendre le début du XIXe siècle pour que les infiniment petits soient maîtrisés en métaphysique (c’est exaspérant cette situation d’une chose qui est sans être et qui existe par son évanouissement ( Cf. Hegel : Science de la logique (Théorie de la Quantité)).

L’élément différentiel n’existe qu’en tant qu’il s’évanouit. Donc ce n’est plus une différence xl -x2 posée, c’est une chose qui est complètement différente du possible et du réel, qui est du virtuel, le Dx. Dans un certain sens, il y a ce paradoxe qui veut que le virtuel soit ce X, il y a bien quelque chose de profondément interne au point, mais justement en tant que c’est interne, ce n’est pas un point pris comme x = 1, mais comme une petite flèche qui est là, qui jaillit du point : c’est une fulguration.

Et c’est en quoi la théorie des monades a un rapport direct avec le calcul différentiel. Effectivement, pour Leibnitz, les monades ne sont pas des points ou des atomes, il les appelle des « points métaphysiques », ce qui est prodigieux. Ce ne sont pas des entités en elles-mêmes, mais elles existent comme des intersections de points de vue et il y a quelque chose de profondément vivant dans la monade.

Quand je prends un point x = 1 par exemple, il y a une science en mathématiques qui s’appelle l’analyse fonctionnelle. Les mathématiques, ce n’est pas du tout la théorie des ensembles, je définis 1, je pose ça, c’est terminé, je n’ai plus qu’à crever ! Par contre, le monsieur qui fait de l’analyse fonctionnelle, dira : ce point-là n’est rien en tant que tel, ce qui m’intéresse c’est 1/(x-1). C’est le point comme pôle. Je ne triche pas du tout. Vous allez me dire qu’il ne s’est rien passé du tout alors que tout s’est passé là. Pourquoi ? Parce que je ne dis plus x = 1, mais je forme ici, je condense l’impossibilité d’un problème. Effectivement 1/(x-1) quand x = 1, ce n’est pas défini, mais c’est ce qui fait vivre le point. Pratiquement, je crois que ma conférence tient là-dedans en fait. Elle tient au fait qu’un point n’est rien en soi, comme ça, pris extérieurement, mais que construire des mathématiques, c’est construire, en quelque sorte, une manière de faire « fleurir les points » ; de diffé-rentes façons, on peut avoir une botanique de topologie algébrique ou une botanique d’analyse fonctionnelle.

D’une certaine manière c’est une botanique où l’on peut faire des implants. (…) Mais il ne faut pas voir cela comme une espèce d’équivalence plate : quand on dit qu’à l’ensemble des points de la droite correspond l’ensemble des fonctions qui s’annulent en un point donné, ce n’est pas comme cela qu’il faut voir, il faut voir cela comme une nouvelle façon de prendre la virtualité de ce point, de prendre les virtualités et de les faire exploser. Et c’est ainsi qu’opèrent les mathématiciens (Abel). On dira que c’est un miracle… Comment ça se fait que ça s’incarne ? Mais quand on pense un peu à la chose, c’est bien évident, puisqu’effectivement quand je fais une expérience sur le réel, qu’est-ce que je fais ? Il faut que je m’intéresse à ce point. Mais je m’y intéresse vraiment. Je ne dis pas seulement que x = 1. Il faut que j’aie tout un processus expérimental qui détecte ce point. Le point n’est rien que l’ensemble des détections. L’objet qu’on a en face de soi, ce n’est jamais un objet « physique », ce n’est jamais un objet mathématique, c’est toujours un objet physico-mathématique. Et faire de la physico-mathématique c’est trouver une forme d’adéquation entre les virtualités mathématiques de la chose et les complexes expérimentaux avec lesquels je peux faire exploser ce point.

 

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Ce texte a été rédigé d’après l’exposé du 3 juin 1986 au Collège International de Philosophie.
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